Logarithmen/Exponentialfunktionen/Einführung/Textabschnitt

Die Exponentialfunktionen für verschiedene Basen ${}>1$

Definition

Zu einer positiven reellen Zahl ${}b>0$ definiert man die Exponentialfunktion zur Basis ${}b$ als

${}b^{x}:=\exp(x\ln b)\,.$

Satz

Es sei ${}b$ eine positive reelle Zahl. Dann besitzt die Exponentialfunktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto b^{x},$

folgende Eigenschaften.

1. Es ist ${}b^{x+x'}=b^{x}\cdot b^{x'}$ für alle ${}x,x'\in \mathbb {R}$.
2. Es ist ${}b^{-x}={\frac {1}{b^{x}}}$.
3. Für ${}b>1$ und ${}x>0$ ist ${}b^{x}>1$.
4. Für ${}b<1$ und ${}x>0$ ist ${}b^{x}<1$.
5. Für ${}b>1$ ist ${}f$ streng wachsend.
6. Für ${}b<1$ ist ${}f$ streng fallend.
7. Es ist ${}(b^{x})^{x'}=b^{x\cdot x'}$ für alle ${}x,x'\in \mathbb {R}$.
8. Für ${}a\in \mathbb {R} _{+}$ ist ${}(ab)^{x}=a^{x}\cdot b^{x}$.

Beweis

Siehe Aufgabe.

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Bemerkung  

Die Exponentialfunktionen ${}x\mapsto a^{x}$ zur Basis ${}a>0$ kann man auch anders einführen. Für natürliche Zahlen ${}n\neq 0$ nimmt man das ${}n$-fache Produkt von ${}a$ mit sich selbst, also ${}a^{n}$, als Definition. Für eine negative ganze Zahl ${}x$ setzt man ${}a^{x}:=(a^{-x})^{-1}$. Für eine positive rationale Zahl ${}x=r/s$ setzt man

${}a^{x}:={\sqrt[{s}]{a^{r}}}\,,$

wobei man natürlich die Unabhängigkeit von der gewählten Bruchdarstellung beweisen muss. Für eine negative rationale Zahl arbeitet man wieder mit Inversen. Für eine beliebige reelle Zahl ${}x$ schließlich nimmt man eine Folge ${}q_{n}$ von rationalen Zahlen, die gegen ${}x$ konvergiert, und definiert

${}a^{x}:=\lim _{n\rightarrow \infty }a^{q_{n}}\,.$

Hierzu muss man zeigen, dass diese Limiten existieren und unabhängig von der gewählten rationalen Folge sind. Für den Übergang von ${}\mathbb {Q}$ nach ${}\mathbb {R}$ ist der Begriff der gleichmäßigen Stetigkeit entscheidend.

Definition

Zu einer positiven reellen Zahl ${}b>0$, ${}b\neq 1$, wird der Logarithmus zur Basis ${}b$ von ${}x\in \mathbb {R} _{+}$ durch

${}\log _{b}x:={\frac {\ln x}{\ln b}}\,$

definiert.

Logarithmen zu verschiedenen Basen

Satz

Die Logarithmen zur Basis ${}b$ erfüllen die folgenden Rechenregeln.

1. Es ist ${}\log _{b}(b^{x})=x$ und ${}b^{\log _{b}(y)}=y$, das heißt der Logarithmus zur Basis ${}b$ ist die Umkehrfunktion zur Exponentialfunktion zur Basis ${}b$.
2. Es gilt ${}\log _{b}(y\cdot z)=\log _{b}y+\log _{b}z$.
3. Es gilt ${}\log _{b}y^{u}=u\cdot \log _{b}y$ für ${}u\in \mathbb {R}$.
4. Es gilt

   ${}\log _{a}y=\log _{a}{\left(b^{\log _{b}y}\right)}=\log _{b}y\cdot \log _{a}b\,.$

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$