Beweis
Wegen
Fakt
muss
-
für jeden Punkt
sein, wobei
den Restriktionshomomorphismus in den Halm und
das maximale Ideal bezeichnet. Dadurch ist wiederum eine stetige Abbildung festgelegt, da sie ja
-
erfüllt, die nach
Fakt (8)
eine
Basis
bilden und da die nach
Fakt
offen sind. Zu jedem
liegen die Ringhomomorphismen
-
vor, wobei rechts zu einer Einheit wird. Nach
Fakt
gibt es daher einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus
-
der mit diesem Ringhomomorphismus verträglich ist. Durch die Garbeneigenschaft ist daher auch ein eindeutig bestimmter Ringhomomorphismus
-
für jede offene Menge festgelegt. Es gilt nämlich mit
die Beziehung
-
und
-
Da wir rechts auf den bzw. wohldefinierte Ringhomomorphismen haben, und da dabei die Gleichungen berücksichtigt werden, ergibt sich ein Ringhomomorphismus von oben nach unten. Diese Festlegungen liefern in der Tat einen Morphismus lokal beringter Räume.