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Lokal beringter Raum/Affines Schema/Morphismus/Fakt/Beweis

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Beweis

Wegen Fakt muss

für jeden Punkt sein, wobei den Restriktionshomomorphismus in den Halm und das maximale Ideal bezeichnet. Dadurch ist wiederum eine stetige Abbildung festgelegt, da sie ja

erfüllt, die nach Fakt  (8) eine Basis bilden und da die nach Fakt offen sind. Zu jedem liegen die Ringhomomorphismen

vor, wobei rechts zu einer Einheit wird. Nach Fakt gibt es daher einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus

der mit diesem Ringhomomorphismus verträglich ist. Durch die Garbeneigenschaft ist daher auch ein eindeutig bestimmter Ringhomomorphismus

für jede offene Menge festgelegt. Es gilt nämlich mit die Beziehung

und

Da wir rechts auf den bzw. wohldefinierte Ringhomomorphismen haben, und da dabei die Gleichungen berücksichtigt werden, ergibt sich ein Ringhomomorphismus von oben nach unten. Diese Festlegungen liefern in der Tat einen Morphismus lokal beringter Räume.