Lokaler Ring/Assoziierter graduierter Ring/Regularität/Fakt/Beweis

Beweis

Das maximale Ideal ${}{\mathfrak {m}}$ sei durch die Erzeuger ${}f_{1},\ldots ,f_{e}$ gegeben, wobei ${}e$ die Einbettungsdimension von ${}R$ bezeichnet. Dazu gehört ein surjektiver graduierter ${}R/{\mathfrak {m}}$-Algebrahomomorphismus

$R/{\mathfrak {m}}[X_{1},\ldots ,X_{e}]\longrightarrow \operatorname {Gr} _{\mathfrak {m}}R=R/{\mathfrak {m}}\oplus {\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}\oplus {\mathfrak {m}}^{2}/{\mathfrak {m}}^{3}\ldots ,\,X_{i}\longmapsto [f_{i}],$

(${}[f_{i}]$ bezeichnet die Klasse von ${}f_{i}$ in ${\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}$). Es steht links ein Ring der Dimension ${}e$ und rechts nach Fakt bzw. der graduierten Version davon ein Ring der Dimension ${}d=\operatorname {dim} {\left(R\right)}$. Wenn ${}R$ regulär ist, so ist ${}d=e$ und der Kern muss trivial sein, da echte Restklassenringe eines Integritätsbereiches eine kleinere Dimension besitzen. Wenn umgekehrt ein Isomorphismus vorliegt, so muss ${}d=e$ sein.

Zur bewiesenen Aussage