Lokaler Ring/Hilbert-Samuel-Polynom/Grad und Dimension/Textabschnitt

Definition

Zu einem $R$-Modul $M$ versteht man unter der Krulldimension von $M$ die Krulldimension von $R/{\text{Ann}}_{R}M$.

Satz

Es sei $R$ ein noetherscher lokaler Ring und $M$ ein endlich erzeugter $R$-Modul.

Dann besteht zwischen der Dimension des Moduls und dem Grad des Hilbert-Samuel-Polynoms $P_M$ der Zusammenhang

$\dim \left(M\right)=\mathrm{grad}(P_M)+1.$