Lokales Extremum/Richtungsableitung/Totales Differential/Fakt/Beweis

Beweis

(1) Zu ${}v\in V$ betrachten wir die Funktion

$h\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto h(t)=f(P+tv),$

wobei ${}I$ ein geeignetes reelles Intervall ist. Da die Funktion ${}f$ in ${}P$ ein lokales Extremum besitzt, besitzt die Funktion ${}h$ in ${}t=0$ ebenfalls ein lokales Extremum. Nach Voraussetzung ist ${}h$ differenzierbar und nach Fakt ist ${}h'(0)=0$. Diese Ableitung stimmt aber mit der Richtungsableitung überein, also ist

${}{\left(D_{v}f\right)}{\left(P\right)}=h'(0)=0\,.$

(2) folgt aus (1) aufgrund von Fakt.

Zur bewiesenen Aussage