Lokales Extremum/Richtungsableitung/Totales Differential/Fakt/Beweis

Beweis

(1) Zu  $v\in V$  betrachten wir die Funktion

$h:I⟶ℝ,t⟼h(t)=f(P+tv),$

wobei $I$ ein geeignetes reelles Intervall ist. Da die Funktion $f$ in $P$ ein lokales Extremum besitzt, besitzt die Funktion $h$ in  $t=0$  ebenfalls ein lokales Extremum. Nach Voraussetzung ist $h$ differenzierbar und nach Fakt ist  $h^{\prime }(0)=0$.  Diese Ableitung stimmt aber mit der Richtungsableitung überein, also ist

$\left(D_{v}f\right)\left(P\right)=h^{\prime }(0)=0.$

(2) folgt aus (1) aufgrund von Fakt.

Zur bewiesenen Aussage