Maß- und Integrationstheorie/Gemischte Definitionsabfrage/3/Aufgabe/Lösung

1. Eine Familie ${}{\mathcal {T}}$ von Teilmengen von ${}X$ heißt Topologie auf ${}X$, wenn die folgenden Axiome erfüllt sind:
   1. Es ist ${}\emptyset \in {\mathcal {T}}$ und ${}X\in {\mathcal {T}}$.
   2. Sind ${}U\in {\mathcal {T}}$ und ${}V\in {\mathcal {T}}$, so ist auch ${}U\cap V\in {\mathcal {T}}$.
   3. Ist ${}I$ eine Indexmenge und ${}U_{i}\in {\mathcal {T}}$ für alle ${}i\in I$, so ist auch ${}\bigcup _{i\in I}U_{i}\in {\mathcal {T}}$.
2. Ein Prämaß auf ${}(M,{\mathcal {A}})$ nennt man ein Maß.
3. Ein Maß auf ${}(\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n}))$ heißt translationsinvariant, wenn für alle messbaren Teilmengen ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ und alle Vektoren ${}v\in \mathbb {R} ^{n}$ die Gleichheit

   ${}\mu (T)=\mu (T+v)\,$

   gilt.

4. Es sei ${}H$ die Menge der Häufungspunkte der Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$. Dann nennt man

   $\operatorname {lim} \operatorname {inf} \,{\left((x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\right)}=\inf \,{\left(H\right)}$

   (eventuell ${}-\infty$) den Limes inferior der Folge.

5. Ein normierter ${}{\mathbb {K} }$-Vektorraum, der mit der zugehörigen Metrik ein vollständiger metrischer Raum ist, heißt Banachraum.
6. Man nennt

   ${}c_{n}={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}f(t)e^{-{\frac {2\pi {\mathrm {i} }}{T}}nt}dt\,$

   den ${}n$-ten (komplexen) Fourierkoeffizienten.

Zur gelösten Aufgabe