Maß- und Integrationstheorie/Gemischte Satzabfrage/5/Aufgabe/Lösung

1. Es sei ${}{\mathcal {B}}={\mathcal {B}}(\mathbb {R} )$ die ${}\sigma$-Algebra der Borel-Mengen auf ${}\mathbb {R}$. Dann gibt es genau ein ${}\sigma$-endliches Maß ${}\lambda$ auf ${}(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}})$, das für jedes halboffene Intervall ${}[a,b[$ den Wert ${}\lambda ([a,b[)=b-a$ besitzt.
2. Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein ${}\sigma$-endlicher Maßraum und

   $f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$

   eine messbare numerische nichtnegative Funktion. Dann gilt für jedes ${}a\in \mathbb {R} _{\geq 0}$ die Abschätzung

   ${}\int _{M}f\,d\mu \geq a\cdot \mu {\left\{x\in M\mid f(x)\geq a\right\}}\,.$

3. Es sei ${}X$ ein metrischer Raum. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.
   1. ${}X$ ist kompakt.
   2. ${}X$ ist folgenkompakt.
   3. ${}X$ ist vollständig und total beschränkt.

Zur gelösten Aufgabe