Maßtheorie/Gemischte Definitionsabfrage/1/Aufgabe/Lösung
Erscheinungsbild
- Die Menge heißt abzählbar, wenn sie leer ist oder wenn es eine surjektive Abbildung
gibt.
- Ein
Teilmengensystem
auf einer Menge heißt Mengen-Algebra, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind.
- Es ist .
- Mit gehört auch das Komplement zu .
- Für je zwei Mengen ist auch .
- Es sei ein topologischer Raum. Dann nennt man die von erzeugte -Algebra die Menge der Borel-Mengen von .
- Eine Folge von Teilmengen , , in mit für alle heißt Ausschöpfung von , wenn gilt.
- Eine
Abbildung
heißt ein Maß auf , wenn folgende Bedingung erfüllt ist.
Für jede abzählbare Familie von paarweise disjunkten Teilmengen , , aus gilt
- Ein
Maß
auf heißt translationsinvariant, wenn für alle
messbaren Teilmengen
und alle Vektoren die Gleichheit
gilt.
- Es sei ein -endlicher Maßraum und
eine messbare numerische nichtnegative Funktion. Dann heißt
das Integral von über (zum Maß ).
- Es sei die Menge der
Häufungspunkte
der Folge . Dann setzt man
und nennt diese Zahl den Limes inferior der Folge.