Mannigfaltigkeit/Abzählbare Basis/Überdeckung/Partition/Fakt/Beweis

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Beweis

Nach Fakt können wir davon ausgehen, dass eine offene Überdeckung aus Kartengebieten , , ( abzählbar) mit

und mit Ballumgebungen

(mit ) vorliegt derart, dass auch die eine Überdeckung von bilden und dass jeder Punkt nur in endlich vielen der und insbesondere nur in endlich vielen dieser enthalten ist. Auf betrachten wir die Funktion , die durch

definiert ist. Diese Funktion hat genau auf einen positiven Wert und ihr Träger ist . Eine Überlegung auf den beiden offenen Teilmengen (die überdecken) und zeigt, dass unendlich oft differenzierbar ist. Wir definieren eine Funktion

durch

Diese Funktion ist stetig differenzierbar auf , da der „Streifen“ einen glatten Übergang erlaubt. Wir setzen

wobei dies für jeden Punkt eine endliche Summe ist, da der Träger von in liegt. Diese Funktion ist stetig differenzierbar auf und überall positiv, da die auf den überdeckenden Mengen positiv sind. Dann bilden die

die gesuchte Partition der Eins.

Zur bewiesenen Aussage