Nach
Fakt
können wir davon ausgehen, dass eine offene Überdeckung aus Kartengebieten
,
,
(
abzählbar)
mit
-
und mit Ballumgebungen
-

(mit
)
vorliegt derart, dass auch die
eine Überdeckung von
bilden und dass jeder Punkt
nur in endlich vielen der
und insbesondere nur in endlich vielen dieser
enthalten ist. Auf
betrachten wir die Funktion
, die durch
-

definiert ist. Diese Funktion hat genau auf
einen positiven Wert und ihr
Träger
ist
. Eine Betrachtung auf den beiden offenen Teilmengen
(die
überdecken)
und
zeigt, dass
unendlich oft differenzierbar ist. Wir definieren eine Funktion
-
durch
-

Diese Funktion ist
stetig differenzierbar
auf
, da der „Streifen“
einen glatten Übergang erlaubt. Wir setzen
-

wobei dies für jeden Punkt eine endliche Summe ist, da der
Träger
von
in
-

liegt. Diese Funktion ist
stetig differenzierbar
auf
und überall positiv, da die
auf den überdeckenden Mengen
positiv sind. Dann bilden die
-

die gesuchte Partition der Eins.