Mannigfaltigkeit/Vektorbündel/K/Zusammenhang/Linear und integrabel/Darstellung der Fundamentalgruppe/Fakt

Es sei ${}X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ${}E$ ein (reelles oder komplexes) differenzierbares Vektorbündel auf ${}X$, das mit einem linearen Zusammenhang versehen sei, der lokal integrabel sei. Es sei ${}x\in X$ ein Punkt mit der Faser ${}E_{x}\cong {\mathbb {K} }^{r}$.

Dann definiert der horizontale Fasertransport einen natürlichen Anti-Gruppenhomomorphismus

$\pi _{1}(X,x)\longrightarrow \operatorname {GL} _{}{\left(E_{x}\right)}\cong \operatorname {GL} _{r}\!{\left({\mathbb {K} }\right)},\,\gamma \longmapsto (e\mapsto {\tilde {\gamma }}_{e}(1)).$

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