Mannigfaltigkeit mit Rand/Rand/Elementare Eigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

(1). Es sei  $P\in M$  und  $P\in U$  ein Kartengebiet mit zwei Karten

${\alpha }_1:U⟶V_1$

und

${\alpha }_2:U⟶V_2$

mit $V_1\subseteq H_1$ und $V_2\subseteq H_2$ offen in euklidischen Halbräumen  $H_1,H_2\cong {ℝ}_{\ge 0}\times {ℝ}^{n-1}$.  Die Kartenwechselabbildung  $\phi ={\alpha }_2\circ {\alpha }_1^{-1}$  ist ein Diffeomorphismus, und das heißt nach Aufgabe für jeden Punkt  $Q\in V_1$,  dass es offene Umgebungen $W_1$ und $W_2$ in ${ℝ}^n$ gibt mit  $Q\in W_1$  und eine diffeomorphe Ausdehnung

$\tilde{\phi }:W_1⟶W_2$

von $\phi {\mid }_{W_1\cap H_1}$. Daher ist $\tilde{\phi }(H_1^{+}\cap W_1)$ offen in $W_2$.

Es sei nun  $Q_1={\alpha }_1(P)$  und $W_1,W_2,\tilde{\phi }$ mit den eben erwähnten Eigenschaften gewählt. Wenn $Q_1$ kein Randpunkt in der ersten Karte ist, so ist  $Q_1\in H_1^{+}\cap W_1$  eine offene Umgebung und damit ist  ${\alpha }_2(P)\in \tilde{\phi }(H_1^{+}\cap W_1)$  eine offene Umgebung in  $W_2\subseteq {ℝ}^n$.  Ferner ist  $\tilde{\phi }(H_1^{+}\cap W_1)\subseteq H_2$.  D.h.  ${\alpha }_2(P)\in H_2$  besitzt eine in ${ℝ}^n$ offene Umgebung innerhalb von $H_2$ und kann daher nach Aufgabe auch in der zweiten Karte kein Randpunkt sein.
(2). Sei  $P\notin \partial M$  und sei  $P\in U$  ein Kartengebiet mit dem Homöomorphismus

$\alpha :U⟶V$

mit  $V\subseteq {ℝ}_{\ge 0}\times {ℝ}^{n-1}=H$  offen. Da $P$ kein Randpunkt ist, ist die erste Komponente von $\alpha (P)$ positiv und daher gibt es eine offene Menge  $\alpha (P)\in V^{\prime }\subseteq {ℝ}_{+}\times {ℝ}^{n-1}=H_{+}$.  Daher ist  $U^{\prime }={\alpha }^{-1}(V^{\prime })$  eine offene Umgebung von $P$, die (nach Teil 1) den Rand nicht trifft.
(3). Für jeden Punkt  $P\notin \partial M$  kann man wie in (2) ein Kartengebiet angeben, das disjunkt zum Rand ist und dessen Kartenbild eine offene Menge im ${ℝ}^n$ ist. Daher liegt eine Mannigfaltigkeit (ohne Rand) vor.

Zur bewiesenen Aussage