Mannigfaltigkeit mit Rand/Rand/Elementare Eigenschaften/Fakt/Beweis

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Beweis

(1). Es sei und ein Kartengebiet mit zwei Karten

und

mit und offen in euklidischen Halbräumen . Die Kartenwechselabbildung ist ein Diffeomorphismus, und das heißt nach Aufgabe für jeden Punkt , dass es offene Umgebungen und in gibt mit und eine diffeomorphe Ausdehnung

von . Daher ist offen in .

Sei nun und mit den eben erwähnten Eigenschaften gewählt. Wenn kein Randpunkt in der ersten Karte ist, so ist eine offene Umgebung und damit ist eine offene Umgebung in . Ferner ist . D.h. besitzt eine in offene Umgebung innerhalb von und kann daher nach Aufgabe auch in der zweiten Karte kein Randpunkt sein.
(2). Sei und sei ein Kartengebiet mit dem Homöomorphismus

mit offen. Da kein Randpunkt ist, ist die erste Komponente von positiv und daher gibt es eine offene Menge . Daher ist eine offene Umgebung von , die (nach Teil 1) den Rand nicht trifft.
(3). Für jeden Punkt kann man wie in (2) ein Kartengebiet angeben, das disjunkt zum Rand ist und dessen Kartenbild eine offene Menge im ist. Daher liegt eine Mannigfaltigkeit (ohne Rand) vor.

Zur bewiesenen Aussage