Mathematik für Anwender 2/Gemischte Definitionsabfrage/11/Aufgabe/Lösung

1. Eine Differentialgleichung der Form

   $y^{\prime }=g(t)y+h(t)$

   mit zwei auf einem Intervall $I\subseteq ℝ$ definierten Funktionen $t\mapsto g(t)$ und $t\mapsto h(t)$ heißt inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung.

2. Eine Teilmenge $U\subseteq M$ heißt offen, wenn für jedes $x\in U$ ein $ϵ>0$ mit

   $U(x,ϵ)\subseteq U$

   existiert.

3. Die Abbildung $f$ heißt in $t\in I$ differenzierbar, wenn der Limes

   ${\lim }_{h\to 0}\frac{f(t+h)-f(t)}{h}$

   existiert.

4. Es sei

   $v^{\prime }=Mv$

   mit

   $M\in {\mathrm{Mat}}_{n\times n}(𝕂)$

   eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten. Dann nennt man das charakteristische Polynom

   ${\chi }_M=det(t{E}_n-M)$

   auch das charakteristische Polynom der Differentialgleichung.

5. Der Gradient von $f$ in $P$ ist der eindeutig bestimmte Vektor $w\in V$ mit

   ${\left(Df\right)}_P\left(v\right)=⟨w,v⟩$

   für alle $v\in V$.

6. Die Integrabilitätsbedingung besagt, dass

   $\frac{\partial G_i}{\partial x_j}(P)=\frac{\partial G_j}{\partial x_i}(P)$

   für alle  $P\in U$  und alle $i,j$ gilt.

Zur gelösten Aufgabe