Mathematik für Anwender 2/Gemischte Satzabfrage/6/Aufgabe/Lösung

1. Es sei

   ${}y'=g(t)y+h(t)\,$

   eine inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit stetigen Funktionen ${}g,h\colon I\rightarrow \mathbb {R}$. Es sei ${}G$ eine Stammfunktion von ${}g$ und es sei

   ${}a(t)=\exp(G(t))\,$

   eine Lösung der zugehörigen homogenen linearen Differentialgleichung. Dann sind die Lösungen (auf ${}I$) der inhomogenen Differentialgleichung genau die Funktionen

   ${}y(t)=c(t)a(t)\,,$

   wobei ${}c(t)$ eine Stammfunktion zu ${}{\frac {h(t)}{a(t)}}$ ist.
2. Es sei ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Teilmenge,

   $F\colon U\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

   ein stetiges Vektorfeld und

   $\gamma \colon [a,b]\longrightarrow U$

   eine stetig differenzierbare Kurve. Es sei

   $g\colon [c,d]\longrightarrow [a,b]$

   eine bijektive, monoton wachsende, stetig differenzierbare Funktion und sei ${}{\tilde {\gamma }}=\gamma \circ g$. Dann gilt

   ${}\int _{\gamma }F=\int _{\tilde {\gamma }}F\,.$

3. Für eine kompakte Teilmenge ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ ist

   ${}\lambda ^{n}(T)=\int _{\varphi ^{-1}(T)}\vert {J(\varphi )}\vert \,d\lambda ^{n}\,.$

Zur gelösten Aufgabe