Matrix/Eigenwerte/0510/R/Basiswechsel und Diagonalisierung/Beispiel

Wir schließen an Beispiel an. Es gibt die beiden Eigenvektoren $\left(\begin{array}{c}\sqrt{5}\\ 1\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}-\sqrt{5}\\ 1\end{array}\right)$ zu den verschiedenen Eigenwerten $\sqrt{5}$ und $-\sqrt{5}$, sodass die Abbildung nach Fakt diagonalisierbar ist. Bezüglich der Basis $𝔲$ aus diesen Eigenvektoren wird die lineare Abbildung durch die Diagonalmatrix

$\left(\begin{array}{cc}\sqrt{5}& 0\\ 0& -\sqrt{5}\end{array}\right).$

beschrieben.

Die Übergangsmatrix von der Basis $𝔲$ zur durch $e_1$ und $e_2$ gegebenen Standardbasis $𝔳$ ist einfach

$M_{𝔳}^{𝔲}=\left(\begin{array}{cc}\sqrt{5}& -\sqrt{5}\\ 1& 1\end{array}\right).$

Die inverse Matrix dazu ist

$\frac{1}{2\sqrt{5}}\left(\begin{array}{cc}1& \sqrt{5}\\ -1& \sqrt{5}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2\sqrt{5}}& \frac{1}{2}\\ \frac{-1}{2\sqrt{5}}& \frac{1}{2}\end{array}\right).$

Gemäß Fakt besteht die Beziehung

$\begin{array}{cc}\left(\begin{array}{cc}\sqrt{5}& 0\\ 0& -\sqrt{5}\end{array}\right)& =\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& \frac{\sqrt{5}}{2}\\ \frac{1}{2}& \frac{-\sqrt{5}}{2}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\sqrt{5}& -\sqrt{5}\\ 1& 1\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2\sqrt{5}}& \frac{1}{2}\\ \frac{-1}{2\sqrt{5}}& \frac{1}{2}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& 5\\ 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\sqrt{5}& -\sqrt{5}\\ 1& 1\end{array}\right).\end{array}$