Matrizenkalkül/nxm/Einführung/Textabschnitt

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Ein lineares Gleichungssystem lässt sich am einfachsten mit Matrizen schreiben. Dies ermöglicht es, die Umformungen, die zur Lösung eines solchen Systems führen, durchzuführen, ohne immer die Variablen mitschleppen zu müssen. Matrizen (und der zugehörige Kalkül) sind recht einfache Objekte; sie können aber ganz unterschiedliche mathematische Objekte beschreiben (eine Familie von Spaltenvektoren, eine Familie von Zeilenvektoren, eine lineare Abbildung, eine Tabelle von Wechselwirkungen, eine zweistellige Relation etc.), die man stets im Hinterkopf haben sollte, um vor Fehlinterpretationen geschützt zu sein.


Definition  

Es sei ein Körper und . Unter einer -Matrix über versteht man ein Schema der Form

wobei für und ist.

Zu jedem heißt  , , die -te Zeile der Matrix, was man zumeist als ein Zeilentupel (oder einen Zeilenvektor)

schreibt. Zu jedem heißt  , , die -te Spalte der Matrix, was man zumeist als ein Spaltentupel (oder einen Spaltenvektor)

schreibt. Die Elemente heißen die Einträge der Matrix. Zu heißt der Zeilenindex und der Spaltenindex des Eintrags. Man findet den Eintrag , indem man die -te Zeile mit der -ten Spalte kreuzt. Eine Matrix mit nennt man eine quadratische Matrix. Eine -Matrix ist einfach ein einziges Spaltentupel der Länge , und eine -Matrix ist einfach ein einziges Zeilentupel der Länge . Die Menge aller Matrizen mit Zeilen und Spalten (und mit Einträgen in ) wird mit bezeichnet, bei schreibt man .

Zwei Matrizen werden addiert, indem man sie komponentenweise addiert. Ebenso ist die Multiplikation einer Matrix mit einem Element (einem Skalar) komponentenweise definiert, also

und

Die Matrizenmultiplikation wird folgendermaßen definiert.


Definition  

Es sei ein Körper und es sei eine -Matrix und eine -Matrix über . Dann ist das Matrixprodukt

diejenige -Matrix, deren Einträge durch

gegeben sind.

Eine solche Matrizenmultiplikation ist also nur möglich, wenn die Spaltenanzahl der linken Matrix mit der Zeilenanzahl der rechten Matrix übereinstimmt. Als Merkregel kann man das Schema

verwenden, das Ergebnis ist eine -Matrix. Die beiden soeben angeführten Matrizen kann man auch in der anderen Reihenfolge multiplizieren (was nicht immer möglich ist) und man erhält

Insbesondere kann man eine -Matrix mit einem Spaltenvektor der Länge (von rechts) multiplizieren, und erhält dabei einen Spaltenvektor der Länge .


Beispiel  

Es ist


Bemerkung  

Wenn man eine -Matrix mit einem Spaltenvektor multipliziert, so erhält man

Damit lässt sich ein inhomogenes lineares Gleichungssystem mit dem Störvektor kurz als

schreiben. Die erlaubten Gleichungsumformungen (siehe die übernächste Vorlesung) durch Manipulationen an den Gleichungen, die die Lösungsmenge nicht ändern, können dann durch die entsprechenden Zeilenumformungen in der Matrix ersetzt werden. Man muss dann die Variablen nicht mitschleppen.



Definition  

Die -Matrix

nennt man die Einheitsmatrix.

Die Einheitsmatrix besitzt die Eigenschaft für eine beliebige -Matrix . Sie ist also das neutrale Element bezüglich der Multiplikation von quadratischen Matrizen.


Definition  

Eine -Matrix der Form

nennt man Diagonalmatrix.