Mehrfache Integrale/Kompakte Teilmengen/Einführung/Textabschnitt

Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine kompakte Teilmenge und es sei

$f\colon T\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$

eine stetige Funktion. Wir wollen das Integral ${}\int _{T}fd\lambda ^{n}$ definieren, wofür man, wenn die Variablen des ${}\mathbb {R} ^{n}$ mit ${}x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ bezeichnet werden, auch

$\int \int \ldots \int f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})dx_{1}dx_{2}\ldots dx_{n}$

schreibt. Diese Schreibweise wird dann bevorzugt, wenn die jeweiligen Grenzen sinnvoll beschrieben werden können und so die Berechnung des Integrals auf die sukzessive Berechnung non ${}n$ Einzelintegralen (in einer Variablen) zurückgeführt werden kann. Bei ${}n=2$ spricht man von einem Doppelintegral und bei ${}n=3$ von einem Dreifachintegral.

Eine wichtige Interpretation des Integrals ist, dass ${}f$ eine Massenverteilung (oder Ladungsverteilung oder Temperaturverteilung) auf dem Körper ${}T$ beschreibt. In diesem Fall ist das Integral gleich der Gesamtmasse des Körpers ${}T$. Bei ${}f=1$, also bei einer konstanten Massenverteilung, erhält man über ein Integral das Volumen des Grundkörpers. Wir führen das Integral als ${}(n+1)$-dimensionales Volumen des Subgraphen ein.

Definition

Es sei ${}T$ eine Menge und

$f\colon T\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$

eine nichtnegative Funktion. Dann nennt man die Menge

${}S(f)={\left\{(x,y)\in T\times \mathbb {R} \mid 0\leq y\leq f(x)\right\}}\,$

den Subgraphen der Funktion.

Definition

Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine kompakte Teilmenge und

$f\colon T\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$

eine stetige Funktion. Es sei ${}S(f)$ der Subgraph dieser Funktion. Dann setzt man

${}\int _{T}fd\lambda ^{n}:=\lambda ^{n+1}{\left(S(f)\right)}\,$

und nennt dies das (mehrdimensionale) Integral über ${}T$ zu ${}f$.

Damit wird der Integralbegriff auf den Volumenbegriff zurückgeführt. Für eine stetige, aber nicht notwendigerweise nichtnegative Funktion ${}f$ zerlegt man den Definitionsbereich in die beiden Teilmengen ${}T_{\geq 0}={\left\{P\in T\mid f(P)\geq 0\right\}}$ und ${}T_{\leq 0}={\left\{P\in T\mid f(P)\leq 0\right\}}$, die ebenfalls kompakt sind, und setzt

${}\int _{T}fd\lambda ^{n}=\int _{T_{\geq 0}}fd\lambda ^{n}-\int _{T_{\leq 0}}(-f)d\lambda ^{n}\,.$

Ebenso kann man die positiven und negativen Funktionen ${}f_{+}={\min {\left(f,0\right)}}$ und ${}f_{-}={\min {\left(-f,0\right)}}$ einführen und das Integral als ${}\int _{T}f_{+}d\lambda ^{n}-\int _{T}f_{-}d\lambda ^{n}$ ansetzen.

Aus allgemeinen Volumenregeln ergeben sich die folgenden Integrationsregeln.

Lemma

Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine kompakte Teilmenge und es seien

$f,g\colon T\longrightarrow \mathbb {R}$

stetige Funktionen. Dann gelten folgende Eigenschaften.

1. Für ${}a,b\in \mathbb {R}$ gilt

   ${}\int _{T}af+bgd\lambda ^{n}=a\int _{T}fd\lambda ^{n}+b\int _{T}gd\lambda ^{n}\,.$

2. Aus ${}f(P)\leq g(P)$ für alle ${}P\in T$ folgt ${}\int _{T}fd\lambda ^{n}\leq \int _{T}gd\lambda ^{n}$.
3. Wenn es eine Zerlegung ${}T=T_{1}\cup T_{2}$ in kompakte Teilmengen mit ${}\lambda ^{n}{\left(T_{1}\cap T_{2}\right)}=0$ gibt, so ist

   ${}\int _{T}fd\lambda ^{n}=\int _{T_{1}}fd\lambda ^{n}+\int _{T_{2}}fd\lambda ^{n}\,.$

Die letzte Aussage ist auch ein Ansatz, um das Integral zu einer Funktion zu definieren, die nicht notwendigerweise stetig ist. Wenn es eine Zerlegung ${}T=\bigcup _{i\in I}T_{i}$ in endlich viele kompakte Teilmengen ${}T_{i}$ derart gibt, dass das Volumen der Durchschnitte ${}T_{i}\cap T_{j}$ für ${}i\neq j$ jeweils ${}0$ ist (die Durchschnitte müssen also Nullmengen sein) und dass die Einschränkungen ${}f_{i}=f{|}_{T_{i}}$ stetig sind, so setzt man ${}\int _{T}fd\lambda ^{n}=\sum _{i\in I}\int _{T_{i}}f_{i}d\lambda ^{n}$. Eine solche Zerlegung ist auch bei stetigen Funktionen häufig sinvoll.