Mengensysteme für Maßtheorie/Textabschnitt

Es ist nicht möglich, für beliebige Teilmengen des ${}\mathbb {R} ^{n}$ ein sinnvolles Maß zu definieren. Stattdessen sucht man nach einer möglichst großen Auswahl von Teilmengen, für die ein Maß definiert werden kann. Um über solche Mengensysteme und ihre strukturellen Eigenschaften reden zu können, brauchen wir die folgenden Definitionen.

Definition

Zu einer Menge ${}M$ heißt eine Teilmenge ${}{\mathcal {A}}\subseteq {\mathfrak {P}}\,(M)$ der Potenzmenge ein (Teil)-Mengensystem auf ${}M$.

Definition

Ein Teilmengensystem ${}{\mathcal {A}}$ auf einer Menge ${}M$ heißt Mengen-Präring, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind.

1. Es ist ${}\emptyset \in {\mathcal {A}}$.
2. Mit ${}S,T\in {\mathcal {A}}$ gehört auch ${}S\setminus T$ zu ${}{\mathcal {A}}$.
3. Für je zwei Mengen ${}S,T\in {\mathcal {A}}$ ist auch ${}S\cup T\in {\mathcal {A}}$.

Definition

Ein Teilmengensystem ${}{\mathcal {A}}$ auf einer Menge ${}M$ heißt Mengen-Algebra, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind.

1. Es ist ${}M\in {\mathcal {A}}$.
2. Mit ${}T\in {\mathcal {A}}$ gehört auch das Komplement ${}M\setminus T$ zu ${}{\mathcal {A}}$.
3. Für je zwei Mengen ${}S,T\in {\mathcal {A}}$ ist auch ${}S\cup T\in {\mathcal {A}}$.

Statt Mengenalgebra sagt man auch Mengenring, doch ist das missverständlich, da auch die Mengen-Präringe manchmal Mengenringe genannt werden.

Für die Maßtheorie ist das folgende Konzept am wichtigsten.

Definition

Ein Teilmengensystem ${}{\mathcal {A}}$ auf einer Menge ${}M$ heißt ${}\sigma$-Algebra, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind.

1. Es ist ${}M\in {\mathcal {A}}$.
2. Mit ${}T\in {\mathcal {A}}$ gehört auch das Komplement ${}M\setminus T$ zu ${}{\mathcal {A}}$.
3. Für jede abzählbare Familie ${}T_{i}\in {\mathcal {A}}$, ${}i\in I$, ist auch

   ${}\bigcup _{i\in I}T_{i}\in {\mathcal {A}}\,.$

Eine ${}\sigma$-Algebra ist also eine Mengenalgebra, die nicht nur unter endlichen Vereinigungen, sondern auch unter abzählbaren Vereinigungen abgeschlossen ist. Sie ist im Allgemeinen nicht unter beliebigen Vereinigungen abgeschlossen. Die trivialen Beispiele für eine ${}\sigma$-Algebra sind die Potenzmenge und das Mengensystem ${}\{\emptyset ,M\}$. Die Elemente aus der ${}\sigma$-Algebra, also die Teilmengen von ${}M$, die zu ${}{\mathcal {A}}$ gehören, nennt man auch einfach messbare Mengen. Im Rahmen der Wahrscheinlichkeitstheorie spricht man von Ereignissen. Zu einer Teilmenge ${}A\subseteq M$ heißt die aus ${}\emptyset ,A,M\setminus A,M$ bestehende ${}\sigma$-Algebra die Ereignisalgebra zu ${}A$.

Definition

Eine Menge ${}M$, auf der eine ${}\sigma$-Algebra ${}{\mathcal {A}}$ erklärt ist, heißt ein Messraum.

Lemma

Es sei ${}{\mathcal {A}}$ eine ${}\sigma$-Algebra auf einer Menge ${}M$.

Dann gelten folgende Aussagen.

1. Es ist ${}\emptyset \in {\mathcal {A}}$.
2. Mit ${}S,T\in {\mathcal {A}}$ gehört auch ${}T\setminus S$ zu ${}{\mathcal {A}}$.
3. Für jede abzählbare Familie ${}T_{i}\in {\mathcal {A}}$, ${}i\in I$, ist auch

   $\bigcap _{i\in I}T_{i}\in {\mathcal {A}}.$

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$

Bemerkung  

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}})$ ein Messraum und es sei ${}A_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, eine Folge von messbaren Teilmengen. Dann sind auch die Mengen

$\bigcap _{n\in \mathbb {N} }{\left(\bigcup _{k\geq n}A_{k}\right)}$

und

$\bigcup _{n\in \mathbb {N} }{\left(\bigcap _{k\geq n}A_{k}\right)}$

messbar, da in beiden Fällen die inneren Mengen messbar sind und damit auch die Gesamtmenge messbar ist. Die erste Menge nennt man auch den Limes superior und die zweite den Limes inferior der Mengenfolge. Die erste Menge besteht dabei aus allen Elementen aus ${}M$, die in unendlich vielen der ${}A_{n}$ enthalten sind, und die zweite Menge aus allen Elementen aus ${}M$, die in fast allen der ${}A_{n}$ enthalten sind.

Lemma

Es sei ${}M$ eine Menge und sei ${}{\mathcal {A}}_{j}$, ${}j\in J$, eine beliebige Familie von ${}\sigma$-Algebren auf ${}M$.

Dann ist auch der Durchschnitt

${}{\mathcal {A}}=\bigcap _{j\in J}{\mathcal {A}}_{j}\,$

eine ${}\sigma$-Algebra auf ${}M$.

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$

Aufgrund dieses Lemmas gibt es zu jeder Teilmenge ${}{\mathcal {E}}\subseteq {\mathfrak {P}}\,(M)$ eine kleinste ${}\sigma$-Algebra, die ${}{\mathcal {E}}$ umfasst, nämlich der Durchschnitt über alle ${}{\mathcal {E}}$-umfassenden ${}\sigma$-Algebren.

Definition

Es sei ${}M$ eine Menge und ${}{\mathcal {E}}\subseteq {\mathfrak {P}}\,(M)$ eine Menge von Teilmengen aus ${}M$. Dann nennt man die kleinste ${}\sigma$-Algebra, die ${}{\mathcal {E}}$ enthält, die von ${}{\mathcal {E}}$ erzeugte ${}\sigma$-Algebra. Sie wird mit ${}\sigma ({\mathcal {E}})$ bezeichnet. Das System ${}{\mathcal {E}}$ heißt Erzeugendensystem dieser ${}\sigma$-Algebra.

Eine explizite Beschreibung dieser Mengen ist häufig schwierig. Bei ${}{\mathcal {E}}=\{A\}$ ist ${}\sigma ({\mathcal {E}})$ die oben erwähnte Ereignisalgebra.