Metrische Räume/Stetige Abbildung/Grenzwert existiert/Stetige Fortsetzung/Fakt

Es seien $L$ und $M$ metrische Räume, $T\subseteq L$ eine Teilmenge und

$f:T⟶M,x⟼f(x),$

eine stetige Abbildung. Es sei

$T\subseteq \tilde{T}\subseteq \bar{T}$

und für jedes  $a\in \tilde{T}\setminus T$  existiere der Grenzwert ${\lim }_{x\to a}f(x)$.

Dann ist die durch

$\tilde{f}(a):=\{\begin{array}{c}f(a),\text{ falls }a\in T,\\ {\lim }_{x\to a}f(x),\text{ falls }a\in \tilde{T}\setminus T,\end{array}$

definierte Abbildung eine stetige Fortsetzung von $f$ auf $\tilde{T}$.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen