Metrische Räume/Stetige Abbildung/Grenzwert existiert/Stetige Fortsetzung/Fakt

Es seien ${}L$ und ${}M$ metrische Räume, ${}T\subseteq L$ eine Teilmenge und

$f\colon T\longrightarrow M,\,x\longmapsto f(x),$

eine stetige Abbildung. Es sei

${}T\subseteq {\tilde {T}}\subseteq {\overline {T}}\,$

und für jedes ${}a\in {\tilde {T}}\setminus T$ existiere der Grenzwert ${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,f(x)$.

Dann ist die durch

${}{\tilde {f}}(a):={\begin{cases}f(a)\,,{\text{ falls }}a\in T\,,\\\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,f(x),\,{\text{ falls }}a\in {\tilde {T}}\setminus T\,,\end{cases}}\,$

definierte Abbildung eine stetige Fortsetzung von ${}f$ auf ${}{\tilde {T}}$.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen