Metrischer Raum/Nach K/Gleichmäßig stetig/Stetige Fortsetzung/Fakt/Beweis

Beweis

Aufgrund von Fakt genügt es zu zeigen, dass der Grenzwert ${\lim }_{x\to a}f(x)$ für jedes $a\in \bar{T}\setminus T$ existiert. Es sei ${\left(x_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ eine Folge in $T$, die gegen $a$ konvergiert. Wir zeigen, dass dann auch die Bildfolge ${(f(x_n))}_{n\in \mathbb{N}}$ konvergiert. Da diese Bildfolge in $𝕂$ ist, und $𝕂$ vollständig ist, genügt es zu zeigen, dass eine Cauchy-Folge vorliegt. Es sei $ϵ>0$ vorgegeben. Wegen der gleichmäßigen Stetigkeit von $f$ gibt es ein $\delta >0$ derart, dass  $d(f(x),f(x^{\prime }))\le ϵ$  ist für alle $x,x^{\prime }\in T$ mit

$d(x,x^{\prime })\le \delta .$

Wegen der Konvergenz der Folge ${\left(x_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ gibt es ein $n_0$ mit  $d(x_n,a)\le \delta /2$  für alle $n\ge n_0$. Für alle $n,m\ge n_0$ gilt daher  $d(x_n,x_m)\le \delta$  und somit insgesamt

$d(f(x_n),f(x_m))\le ϵ.$

Wir müssen nun noch zeigen, dass für jede gegen $a$ konvergente Folge der Grenzwert der Bildfolge gleich ist. Dies ergibt sich aber sofort, wenn man für zwei Folgen ${\left(x_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ und ${\left(y_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ die Folge $x_0,y_0,x_1,y_1,\dots$ betrachtet, die ebenfalls gegen $a$ konvergiert, und für die der Limes der Bildfolge mit den Limiten der Teilbildfolgen übereinstimmt.

Zur bewiesenen Aussage