Metrischer Raum/Strukturelle Eigenschaften der offenen Mengen/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei $(M,d)$ ein metrischer Raum. Zeige, dass folgende Eigenschaften gelten.

1. Die leere Menge $\mathrm{\varnothing }$ und die Gesamtmenge $M$ sind offen.
2. Es sei $I$ eine beliebige Indexmenge und seien $U_i$, $i\in I$, offene Mengen. Dann ist auch die Vereinigung

   $\bigcup _{i\in I}{U}_i$

   offen.
3. Es sei $I$ eine endliche Indexmenge und seien $U_i$, $i\in I$, offene Mengen. Dann ist auch der Durchschnitt

   $\bigcap _{i\in I}{U}_i$

   offen.

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