Metrischer Raum/Strukturelle Eigenschaften der offenen Mengen/Fakt/Beweis/Aufgabe

Sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum. Zeige, dass folgende Eigenschaften gelten.

1. Die leere Menge ${}\emptyset$ und die Gesamtmenge ${}M$ sind offen.
2. Es sei ${}I$ eine beliebige Indexmenge und seien ${}U_{i}$, ${}i\in I$, offene Mengen. Dann ist auch die Vereinigung

   $\bigcup _{i\in I}U_{i}$

   offen.
3. Es sei ${}I$ eine endliche Indexmenge und seien ${}U_{i}$, ${}i\in I$, offene Mengen. Dann ist auch der Durchschnitt

   $\bigcap _{i\in I}U_{i}$

   offen.

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