Zum Inhalt springen

Modallogik/K/Untypische Systeme/Textabschnitt

Aus Wikiversity

Wir besprechen einige modallogischen Axiomenschemata, die über das -System hinausgehen. Die inhaltliche Relevanz der Systeme ist sehr unterschiedlich. Wenn aus einem modallogischen Axiomensystem ein modallogischer Ausdruck mit Modus ponens und der Nezessisierungsregel ableitbar ist, so schreiben wir dafür . Im modallogischen Kontext bedeutet die Ableitbarkeit im -System.


Das modallogische Axiomenschema

nennt man Leerheitsaxiom.

Dies ergibt keine interessante Modallogik, da einfach jede Aussage der Form gilt, auch dann, wenn eine Kontradiktion ist, und jede Aussage der Form nicht gilt.


Das modallogische Axiomenschema

nennt man Möglichkeitsaxiom.

Dies bedeutet also , es muss also die Aussage oder ihre Negation möglich sein, oder beides. Man spricht auch vom Seriellitätsaxiom oder -Axiom. Die Bezeichnung kommt von deontisch. Was verpflichtend ist, sollte insbesondere erlaubt sein.


Das modallogische Axiomenschema

nennt man Phantasiearmutsaxiom.

Das Möglichkeitsaxiom bedeutet, dass es mindestens eine Vorstellungswelt gibt und das Phantasiearmutsaxiom bedeutet, dass es höchstens eine Vorstellungswelt gibt. Solche Charakterisierungen werden wir später im Rahmen der semantischen Interpretation mit gerichteten Graphen präzisieren.


Das modallogische Axiomenschema

nennt man Ideologieaxiom.

In einer Ideologie stellt man sich genau eine Welt vor, die im Allgemeinen mit der Realität nichts zu tun hat.



Für eine -Modallogik sind die folgenden Eigenschaften äquivalent.

  1. Es gilt das Phantasiearmutsaxiom.
  2. Es gilt die Umkehrung des -Axioms, also
  3. Es gilt das Axiomenschema

Von (1) nach (2). Aus den aussagenlogischen Tautologien

und

ergeben sich mit Fakt  (1) die Ableitungen

und

Das Phantasiearmutsaxiom liefert

und über den Kettenschluss

Daher gilt

was eben

bedeutet.

Von (2) nach (1). Aus der aussagenlogischen Tautologie

ergibt sich mit Fakt  (1) direkt

Die Umkehrung des -Axioms mit liefert

Eine einfache aussagenlogische Überlegung zeigt ferner

Der doppelte Kettenschluss liefert

Da diese Beziehung für jedes gilt, gilt es nach Fakt  (5) überhaupt für jede Aussage.

Aus (1) folgt (3). Das -Axiom liefert

und das Phantasiearmutsaxiom liefert

Dies zusammen ergibt

Wir schreiben dies als

Durch Kontraposition bedeutet dies

Von (3) nach (1). Wir betrachten den Spezialfall

Durch Kontraposition ist dies

und durch eine aussagenlogische Umstellung

Aus der aussagenlogischen Tautologie

folgt mit der Nezessisierungsregel

und somit

mit Modus ponens. Dies bedeutet