Modallogik/Semantik/Systeme/Textabschnitt
Der durch die -Modallogik gegebene axiomatische Rahmen gilt in jedem gerichteten Graphen, aufgefasst als modallogisches Modell. Wir fragen uns, wie speziellere modallogische Axiome mit Eigenschaften von gerichteten Graphen zusammenhängen. Der folgende Satz liefert eine Übersetzung zwischen diesen beiden Konzepten.
- In einem gerichteten Graphen gilt das Möglichkeitsaxiom genau dann, wenn jeder Punkt einen Nachfolger besitzt.
- In einem gerichteten Graphen gilt das Reflexivitätsaxiom genau dann, wenn reflexiv ist.
- In einem gerichteten Graphen gilt das Symmetrieaxiom genau dann, wenn symmetrisch ist.
- In einem gerichteten Graphen gilt das Transitivitätsaxiom genau dann, wenn transitiv ist.
- In einem gerichteten Graphen gilt das euklidische Axiom genau dann, wenn euklidisch ist.
- In einem gerichteten Graphen gilt das Löb-Axiom genau dann, wenn transitiv ist und es in keine unendlichen Ketten gibt.
(1). Es sei gegeben. Es sei zunächst vorausgesetzt, dass in jedes Element einen Nachfolger besitzt und sei
für eine Welt . Es sei mit . Dann ist
und somit
also
Es sei umgekehrt angenommen, dass eine Sackgassenwelt besitzt. Dann ist für eine beliebige Aussagenvariable
aber
und das Möglichkeitsaxiom kann nicht gelten.
(2). Es sei gegeben. Es sei zunächst reflexiv und sei
Wegen ist insbesondere
und damit
Wenn nicht reflexiv ist, so sei und gelte nicht. Es sei die Belegung, bei der
gelte, aber in allen anderen Welten . Dann ist
und somit ist
(3). Es sei gegeben. Es sei zunächst symmetrisch und sei
Es sei eine von aus erreichbare Welt gegeben, also . Wegen der Symmetrie ist auch und somit ist
Also ist
Wenn hingegen nicht symmetrisch ist, so seien Welten mit , aber nicht . Es sei eine Aussagenvariable und es sei die Belegung, bei der
gelte und so, dass in allen von aus erreichbaren Welten gelte. Dann ist
und somit ist
also
(4). Es sei gegeben. Es sei zunächst transitiv und sei
Es sei und und somit
Also ist
und damit
Es sei nun nicht transitiv und seien Punkte mit , , aber nicht . Es sei eine Aussagenvariable und sei die Belegung, bei der in allen von aus erreichbaren Welten gelte, in allen anderen Welten nicht. Dann ist
und
da ja , und somit ist
also
(5). Es sei gegeben. Es sei zunächst euklidisch und sei
Somit gibt es eine Welt mit und mit
Es sei eine Welt mit . Nach der euklidischen Eigenschaft ist dann auch , daher ist
Somit ist
Es sei nun nicht euklidisch und seien Punkte mit , , aber nicht . Es sei eine Aussagenvariable und sei die Belegung, bei der in allen von aus erreichbaren Welten gelte, in allen anderen Welten nicht. Dann ist
und somit
In gilt hingegen , also
Somit gilt
und damit
(6). Wir arbeiten mit der Kontraposition des Löb-Axioms, also mit
Es sei zunächst vorausgesetzt, dass die graphentheoretischen Eigenschaften besitzt. Sei und
Dann gibt es eine Welt mit und mit
Wir betrachten Ketten mit . Da es keine unendliche Kette gibt, bricht eine solche Kette ab, sagen wir in . In gilt dann
Wegen der Transitivität ist von aus erreichbar und somit ist
Es sei nun vorausgesetzt, dass nicht die Eigenschaften erfüllt. Wenn nicht transitiv ist, so ist nach Fakt in Verbindung mit Fakt die Gültigkeit des Löb-Axioms ausgeschlossen. Es sei also eine unendlich lange Kette der Form gegeben. Wir belegen für alle und für alle anderen Welten. Dann gilt
da außerhalb der Kette stets gilt und innerhalb der Kette stets gilt.
Ein Modell des Löb-Axioms ist insbesondere frei von Schleifen, d.h. es ist reflexivitätsfrei, es gilt also nie . Eine solche Schleife würde ja direkt eine unendliche Kette produzieren. Der gerichtete Graph
mit der durch , falls gegebenen Relation und der Belegung für alle zeigt, dass das Löb-Axiom (in der Form ) bei einer unendlichen transitiven Kette ohne Schleifen nicht gelten muss.
Wir betrachten für die modallogische Ausdrucksmenge, die durch
gegeben ist. Da sich die Ausdrücke, die innerhalb des -Operators von stehen, gegenseitig ausschließen, braucht man zur Realisierung von mindestens Punkte. Daher ist
nicht durch einen endlichen gerichteten Graphen erfüllbar. Die Ausdrucksmenge ist aber problemlos durch einen unendlichen gerichteten Graphen erfüllbar: Es seien , , die unendlich vielen Welten, in gilt (die Wahrheitsbelegung ist ansonsten unerheblich) und jede Welt sei von jeder Welt aus erreichbar.