Modul/Extmoduln/Unabhängigkeit von injektiver Auflösung/Fakt/Beweis

Beweis

Es seien

$0\longrightarrow N\longrightarrow L_{0}\longrightarrow L_{1}\longrightarrow \ldots$

und

$0\longrightarrow N\longrightarrow I_{0}\longrightarrow I_{1}\longrightarrow \ldots$

injektive Auflösungen von ${}N$. Dann gibt es nach Fakt Homomorphismen von Kettenkomplexen

$\varphi \colon L_{\bullet }\longrightarrow I_{\bullet }$

und

$\psi \colon I_{\bullet }\longrightarrow L_{\bullet }.$

Dabei sind die Hintereinanderschaltungen ${}\psi \circ \varphi$ und ${}\varphi \circ \psi$ nach Fakt homotop zur Identität auf ${}L_{\bullet }$ bzw. auf ${}I_{\bullet }$. Dies gilt nach Fakt auch für die zugehörigen Homomorphismen auf den Komplexen ${}\operatorname {Hom} {\left(M,L_{\bullet }\right)}$ bzw. ${}\operatorname {Hom} {\left(M,I_{\bullet }\right)}$. D.h. für die induzierten Homomorphismen auf den Homologien gilt, dass die Verknüpfung

$\operatorname {Ext} _{L_{\bullet }}^{n}(M,N){\stackrel {H(\varphi )}{\longrightarrow }}\operatorname {Ext} _{I_{\bullet }}^{n}(M,N){\stackrel {H(\psi )}{\longrightarrow }}\operatorname {Ext} _{L_{\bullet }}^{n}(M,N)$

die Identität ist. Somit sind die ${}H(\varphi )$ kanonische Isomorphismen.

Zur bewiesenen Aussage