Modultheorie (kommutative Algebra)/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und  ${}M=(M,+,0)$  eine additiv geschriebene kommutative Gruppe. Man nennt ${}M$ einen ${}R$-Modul, wenn eine Operation

$R\times M\longrightarrow M,\,(r,v)\longmapsto rv=r\cdot v,$

(Skalarmultiplikation genannt) festgelegt ist, die folgende Axiome erfüllt (dabei seien ${}r,s\in R$ und ${}u,v\in M$ beliebig):

1.  ${}r(su)=(rs)u$, 
2.  ${}r(u+v)=(ru)+(rv)$, 
3.  ${}(r+s)u=(ru)+(su)$, 
4.  ${}1u=u$. 

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$ ein ${}R$-Modul. Eine Teilmenge  ${}U\subseteq M$  heißt ${}R$-Untermodul, wenn sie eine Untergruppe von ${}(M,0,+)$ ist und wenn für jedes  ${}u\in U$  und  ${}r\in R$  auch  ${}ru\in U$  ist.

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$ ein ${}R$-Modul. Eine Familie ${}v_{i}\in M$, ${}i\in I$, heißt Erzeugendensystem für ${}M$, wenn es für jedes Element  ${}v\in M$  eine Darstellung

${}v=\sum _{i\in J}r_{i}v_{i}\,$

gibt, wobei  ${}J\subseteq I$  endlich ist und  ${}r_{i}\in R$. 

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$ ein ${}R$-Modul. Der Modul ${}M$ heißt endlich erzeugt oder endlich, wenn es ein endliches Erzeugendensystem ${}v_{i}$, ${}i\in I$, für ihn gibt (also mit einer endlichen Indexmenge).