Modultheorie (kommutative Algebra)/Einführung/Textabschnitt
Es sei ein kommutativer Ring und eine additiv geschriebene kommutative Gruppe. Man nennt einen -Modul, wenn eine Operation
(Skalarmultiplikation genannt) festgelegt ist, die folgende Axiome erfüllt (dabei seien und beliebig):
- ,
- ,
- ,
- .
Es sei ein kommutativer Ring und ein -Modul. Eine Teilmenge heißt -Untermodul, wenn sie eine Untergruppe von ist und wenn für jedes und auch ist.
Es sei ein kommutativer Ring und ein -Modul. Eine Familie , , heißt Erzeugendensystem für , wenn es für jedes Element eine Darstellung
gibt, wobei endlich ist und .
Es sei ein kommutativer Ring und ein -Modul. Der Modul heißt endlich erzeugt oder endlich, wenn es ein endliches Erzeugendensystem , , für ihn gibt (also mit einer endlichen Indexmenge).