Monoidring/Eigenschaften/Einführung/Textabschnitt

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Definition  

Sei ein kommutatives (additiv geschriebenes) Monoid und ein kommutativer Ring. Dann wird der Monoidring wie folgt konstruiert. Als -Modul ist

d.h. ist der freie Modul mit Basis , . Die Multiplikation wird auf den Basiselementen durch

definiert und auf ganz distributiv fortgesetzt. Dabei definiert das neutrale Element das neutrale Element der Multiplikation.

Bemerkung  

Ein Element in einem Monoidring lässt sich eindeutig als

schreiben, wobei eine endliche Teilmenge ist und . Addiert wird komponentenweise und die Multiplikation ist explizit durch

gegeben. Dies ist mit distributiver Fortsetzung gemeint. Die Menge der , über die hier summiert wird, ist endlich, und auch die inneren Summen sind jeweils endlich.

Es ist üblich, statt suggestiver zu schreiben, wobei ein Symbol ist, das an eine Variable erinnern soll. Die Multiplikationsregel erinnert dann an die entsprechende Regel für Polynomringe. In der Tat sind Polynomringe Spezialfälle von Monoidringen, und diese Notation stammt von dort. Auch ein exakter Beweis, dass in der Tat ein Ring mit assoziativer und distributiver Multiplikation vorliegt, funktioniert wie im Fall von Polynomringen. Meistens schreibt man ein Element einfach als , wobei fast alle sind. Elemente der Form nennt man Monome. Die Abbildung , , ist ein Monoidhomomorphismus, wobei rechts die multiplikative Monoidstruktur des Monoidringes genommen wird.

Ein Monoidring ist in natürlicher Weise eine -Algebra, und zwar sind die Elemente aus aufgefasst in gleich

Man nennt daher auch den Grundring des Monoidringes. Monoidringe sind bereits für Grundkörper interessant.



Beispiel  

Sei eine natürliche Zahl und das -fache direkte Produkt der natürlichen Zahlen. Ein Element ist also ein -Tupel mit . Dies kann man auch als

schreiben. Damit lässt sich das zugehörige Monom eindeutig als

schreiben, wobei wir für das Monom zum -ten Basiselement geschrieben haben. Das bedeutet aber, dass der Monoidring zum Monoid über genau der Polynomring in Variablen ist. Insbesondere ist . Der Monoidring zum trivialen Monoid ist der Grundring selbst.



Beispiel  

Sei eine natürliche Zahl und das -fache direkte Produkt der ganzen Zahlen. ist also die freie kommutative Gruppe vom Rang . Jedes Element ist ein -Tupel mit . Dies kann man auch als

schreiben und das zugehörige Monom kann man eindeutig als

mit schreiben, wobei wir wieder geschrieben haben. Für diesen Monoidring schreibt man auch

und dieser ist isomorph zur Nenneraufnahme des Polynomringes am Produkt der Variablen, also

Diesen Ring nennt man auch den Laurent-Ring in Variablen über .