Monoidring/Erzeuger und Relationen/Ideal/Fakt/Beweis

Beweis

Der surjektive Monoidhomomorphismus

$\mathbb {N} ^{n}\longrightarrow M=\mathbb {N} ^{n}/\sim$

induziert nach Fakt und Fakt einen surjektiven ${}R$-Algebrahomomorphismus

$\varphi \colon R[\mathbb {N} ^{n}]=R[X_{1},\ldots ,X_{n}]\longrightarrow R[M].$

Wir müssen zeigen, dass der Kern dieser Abbildung gleich dem von den binomialen Polynomen ${}X^{\mu }-X^{\nu }$ zu ${}\mu \sim \nu$ in ${}\mathbb {N} ^{n}$ erzeugten Ideal ist. Diese werden auf ${}0$ abgebildet und gehören somit zum Kern.

Die andere Inklusion beweisen wir mittels einer Wohlordnung auf ${}\mathbb {N} ^{n}$, z.B. der gradlexikographischen Ordnung. Zunächst besitzt jedes Element aus ${}M$ einen eindeutig bestimmten minimalem Repräsentanten aus ${}\mathbb {N} ^{n}$. Wir beweisen die Inklusion

${}\operatorname {kern} \varphi \subseteq {\left(X^{\mu }-X^{\nu }{|}\mu \sim \nu \right)}\,$

durch Induktion über die Wohlordnung, bezogen auf das Leitmonom zu einem Polynom ${}F\in \operatorname {kern} \varphi$. Der Induktionsanfang ist klar, da Monome und erst recht einzelne Variablen im Monoidring nicht ${}0$ sind. Sei

${}F=a_{\mu }X^{\mu }+{\text{ Summe kleinerer Monome}}\,.$

Wenn ${}\mu$ der kleinste Vertreter in seiner Äquivalenzklasse wäre, so könnte sich ${}a_{\mu }X^{\mu }$ nicht mit anderen Termen in ${}R[M]$ wegheben. Also ist ${}\mu \sim \nu$ mit einem kleineren Monom ${}\nu$ und somit kann man

${}F=a_{\mu }(X^{\mu }-X^{\nu })+{\left(F-a_{\mu }(X^{\mu }-X^{\nu })\right)}\,$

schreiben. Der linke Summand gehört zum binomialen Ideal, der rechte Summand gehört zum Kern und gehört somit aufgrund der Induktionsvoraussetzung ebenfalls zum binomialen Ideal.

Zur bewiesenen Aussage