Multinomialsatz/Explizite Beispiele/Nullteilerbedingung/1/Aufgabe/Kommentar

Zunächst einmal kann man einfach solche Ringe angeben, zum Beispiel kann man den Restklassenring

$K[X,Y,Z]/(XZ,XY^{2},Y^{2}Z^{2})$

betrachten, wobei ${}(XZ,XY^{2},Y^{2}Z^{2})$ das von diesen Elementen erzeugte Ideal im Polynomring ${}K[X,Y,Z]$ über einem Körper ${}K$ bezeichnet. Wir schreiben ${}x,y,z$ für die Restklassen der Variablen. Da in der Restklassenbildung das Ideal zu ${}0$ wird, werden insbesondere die angegebene Produkte zu ${}0$. Man kann aber auch Restklassenringe von ${}\mathbb {Z}$ angeben, wo solche Nullteilereigenschaften gelten. Beispielsweise kann man

${}n=2^{2}\cdot 3^{2}\cdot 5^{4}\cdot 7\cdot 11^{2}\cdot 13^{2}\,$

und in ${}\mathbb {Z} /(n)$ die Elemente

${}x=2^{2}\cdot 5^{3}\cdot 7\cdot 11^{2}\cdot 13^{2}\,,$

${}y=3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\,$

und

${}z=2^{2}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 13\,$

nehmen (viel einfacher geht das wohl nicht, man muss ja auch sicherstellen, dass beispielsweise ${}xy$ oder ${}yz^{3}$ nicht ${}0$ sind).

Der Multinomialsatz liefert allgemein

${}{\left(x+y+z\right)}^{n}=\sum _{r_{1}+r_{2}+r_{3}=n}{\binom {n}{r_{1},r_{2},r_{3}}}x^{r_{1}}y^{r_{2}}z^{r_{3}}\,.$

Dabei sind allerdings die Produkte, deren Exponententupel oberhalb eines der drei Exponententupel zu den angegebenen Monomen ist, gleich ${}0$ und müssen nicht angegeben werden. Es kommen nur die Monome

$x^{r_{1}},y^{r_{2}},z^{r_{3}},x^{r_{1}}y,y^{r_{2}}z,yz^{r_{3}}$

vor (wobei bei ${}n=2$ die beiden letzten zusammenfallen). Die anderen Exponenten sind dann jeweils gleich ${}0$. Somit ist (bei ${}n\geq 3$)

${}{\left(x+y+z\right)}^{n}=x^{n}+y^{n}+z^{n}+nx^{n-1}y+ny^{n-1}z+nyz^{n-1}\,.$

Zur kommentierten Aufgabe