Natürliche Zahlen/Addition/Nachfolgerzählen/Rechengesetze/Einführung/Textabschnitt

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Die Addition auf den natürlichen Zahlen ist eine vertraute Operation und es gibt viele Möglichkeiten, sie einzuführen. Je nach Kontext und Absicht sind unterschiedliche Ansätze besser geeignet. Zur rechnerischen Definition der Addition ist etwa das schriftliche Addieren im Dezimalsystem besonders effektiv, während zum Nachweis der Assoziativität die inhaltliche Interpretation als disjunkte Vereinigung von Mengen sinnvoll ist. Um ein klares Fundament zu haben, muss man sich bei einem systematisches Aufbau der Mathematik dafür entscheiden, was man als Definition nimmt, und dann beweisen, dass der gewählte Zugang auch andere Charakterisierungen erlaubt und somit mit anderen Zugängen übereinstimmt.

Wir wollen die Addition auf den natürlichen Zahlen definieren, und zwar allein unter Bezug auf das Nachfolgernehmen, das das Zählen charakterisiert. Das Nachfolgernehmen ist ein Prozess, den man iterieren kann. Sowohl der Startwert des Nachfolgernehmens als auch die Anzahl, wie oft ein Nachfolger genommen werden soll, wird durch natürliche Zahlen beschrieben. Die -fache Durchführung eines Prozesses bedeutet, dass er so oft durchgeführt wird, wie es die Menge vorgibt.

Additionnachfolger6.png


Definition  

Die Summe zweier natürlicher Zahlen und ist diejenige natürliche Zahl, die man erhält, wenn man von ausgehend -fach den Nachfolger nimmt.

Die Operation heißt die Addition und die beteiligten Zahlen nennt man die Summanden. Nach dieser Definition wird also ausgehend von der Nachfolgerprozess -fach durchgeführt. Bei ist dies als der nullte Nachfolger, also als selbst, zu verstehen. Bei ist dies der erste Nachfolger, ist also die erste Zahl nach . Die Summe ist also mit Nachfolgerstrichen. Wenn umgekehrt

ist, so ist der -te Nachfolger der gleich . Man beachte, dass hier die Addition in einer Weise definiert wird, in der die Kommutativität keineswegs offensichtlich ist, das wird sich aber gleich ergeben.

Das kleine Einsundeins. Das Umlegungsprinzip schlägt sich in der Additionstabelle darin nieder, dass in den Linksunten nach Rechtsoben-Diagonalen konstante Werte stehen.



Lemma  

Für die Addition der natürlichen Zahlen (mit der in Definition festgelegten Addition) gelten die folgenden Aussagen.

  1. für alle , d.h. ist das neutrale Element der Addition.

  2. für alle (Umlegungsregel).

  3. Die Addition ist kommutativ.
  4. Die Addition ist assoziativ.
  5. Aus einer Gleichung folgt
    (Abziehregel).

Beweis  

  1. Die Gleichungen links und rechts sind unmittelbar klar, da der -te Nachfolger der gleich ist.
  2. Die Ausdrücke besagen prozesstheoretisch das gleiche: Links geht man von der Zahl aus und nimmt einmal öfters als -mal den Nachfolger. In der Mitte bestimmt man -fach den Nachfolger von und nimmt von diesem Ergebnis den Nachfolger. Rechts nimmt man von den Nachfolger und davon dann -fach den Nachfolger.
  3. Es ist

    für alle zu zeigen. Diese Gleichungen zeigen wir durch Induktion über für alle . Bei steht beidseitig nach Teil (1). Sei die Gleichheit nun für ein (und alle ) schon bewiesen. Dann ist unter Verwendung der Induktionsvoraussetzung und Teil (2)

    die Gleichung gilt also auch für .

  4. Wir beweisen die Assoziativität, also die Gleichheit

    durch Induktion über (für alle gleichzeitig). Mit der Regel aus (2) und der Induktionsvoraussetzung ergibt sich direkt

  5. Die Abziehregel beweisen wir ebenfalls durch Induktion über . Der Fall

    ist klar. Sei also die Aussage für schon bewiesen und sei eine Gleichung der Form

    gegeben. Dann ist nach der Umlegungsregel auch

    Nach der Induktionsvoraussetzung ist somit

    Da die Nachfolgerabbildung injektiv ist, ergibt sich


Für einige alternative Begründungen siehe die Aufgaben. Teil (2) kann man auch so verstehen, dass man eine Summe dadurch berechnen kann, dass man sukzessive den ersten Summanden um eins erhöht (also den Nachfolger nimmt) und den zweiten um eins vermindert (also den Vorgänger nimmt), falls ist. Dies macht man so lange, bis der zweite Summand ist. Der dabei entstandene neue erste Summand ist die Summe. Statt Umlegungsregel sagt man auch Umlegungsprinzip oder man spricht von einer „gegensinnigen Veränderung“, was auch oft bei Rechnungen effektiv eingesetzt wird, wenn man etwa rechnet. Die folgende Aussage besagt, dass durch das Umlegungsprinzip die Addition bereits festgelegt ist.



Satz  

Auf den natürlichen Zahlen

gibt es genau eine Verknüpfung

mit

Beweis  

Es seien zwei Verknüpfungen und auf gegeben, die beide diese charakteristischen Eigenschaften erfüllen. Es ist zu zeigen, dass dann diese beiden Verknüpfungen überhaupt übereinstimmen. Wir müssen also die Gleichheit

für alle beweisen. Dies machen wir durch Induktion über (für beliebige ). Bei

ist wegen

die Aussage richtig. Sei die Aussage nun für ein bestimmtes schon bewiesen. Dann ist mit der charakteristischen Eigenschaft und der Induktionsvoraussetzung