Natürlicher Logarithmus/Taylorreihe über Ableitung in 1/Beispiel

Wir wollen die Taylor-Reihe des natürlichen Logarithmus im Entwicklungspunkt $1$ bestimmen. Die Ableitung des natürlichen Logarithmus ist nach Fakt gleich $1/x$. Diese Funktion besitzt nach Fakt die Potenzreihenentwicklung

$\frac{1}{x}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k(x-1{)}^k$

im Entwicklungspunkt $1$ (die für $|x-1|<1$ konvergiert). Daher besitzt nach Fakt der natürliche Logarithmus die Potenzreihe

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{k-1}}{k}(x-1{)}^k.$

Mit  $z=x-1$  ist dies die Reihe

$z-\frac{z^2}{2}+\frac{z^3}{3}-\frac{z^4}{4}+\frac{z^5}{5}-\dots .$