Nilpotenter Endomorphismus/Jordansche Normalform/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Es sei

$\phi :V⟶V$

eine nilpotente lineare Abbildung.

Dann gibt es eine Basis von $V$, bezüglich der die beschreibende Matrix die Gestalt

$\left(\begin{array}{cccccc}0& c_1& 0& \cdots & \cdots & 0\\ 0& 0& c_2& 0& \cdots & 0\\ ⋮& \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & ⋮\\ 0& \cdots & 0& 0& c_{n-2}& 0\\ 0& \cdots & \cdots & 0& 0& c_{n-1}\\ 0& \cdots & \cdots & \cdots & 0& 0\end{array}\right)$

besitzt, wobei die $c_i$ gleich $0$ oder gleich $1$ sind.

D.h., dass $\phi$ auf jordansche Normalform gebracht werden kann.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen