Noetherscher Ring/Maximales Ideal/Idealpotenz mal Modul/Restklassenmodul/Direkt und lokal/Fakt/Beweis

Beweis

Nach Aufgabe ist ${}R/{\mathfrak {n}}\cong R_{\mathfrak {n}}/{\mathfrak {m}}$, so dass der gleiche Restklassenkörper vorliegt. Die natürlichen ${}R$-Modulhomomorphismen ${}{\mathfrak {n}}^{n}\rightarrow {\mathfrak {m}}^{n}$ und

$M\longrightarrow M_{\mathfrak {n}}$

induzieren einen ${}R$-Modulhomomorphismus

${\mathfrak {n}}^{n}M\longrightarrow {\mathfrak {m}}^{n}M_{\mathfrak {m}}$

und einen ${}K$-Vektorraumhomomorphismus

${\mathfrak {n}}^{n}M/{\mathfrak {n}}^{n+1}M\longrightarrow {\mathfrak {m}}^{n}M_{\mathfrak {n}}/{\mathfrak {m}}^{n+1}M_{\mathfrak {n}}.$

Dieser ist surjektiv, da ${}R$-Modulerzeuger von ${}{\mathfrak {n}}^{n}M$ auf ein ${}R_{\mathfrak {n}}$-Erzeugendensystem von ${}{\mathfrak {m}}^{n}M_{\mathfrak {m}}$ abbilden, und diese auf ein ${}R_{\mathfrak {n}}/{\mathfrak {m}}$-Erzeugendensystem von ${}{\mathfrak {m}}^{n}M_{\mathfrak {n}}/{\mathfrak {m}}^{n+1}M_{\mathfrak {n}}$ abbilden.

Zum Beweis der Injektivität sei ${}x\in {\mathfrak {n}}^{n}M$ ein Element, das rechts auf ${}0$ abgebildet wird. D.h. es gilt ${}x\in {\mathfrak {m}}^{n+1}M_{\mathfrak {n}}$ in der Lokalisierung ${}M_{\mathfrak {n}}$. Dies bedeutet, dass es Elemente ${}y_{1},\ldots ,y_{r}\in {\mathfrak {n}}^{n+1}$ und Elemente ${}q_{i}={\frac {z_{i}}{s_{i}}}\in M_{\mathfrak {n}}$ (also mit $s_{i}\notin {\mathfrak {n}}$ und $z_{i}\in M$) mit

${}x=y_{1}{\frac {z_{1}}{s_{1}}}+\cdots +y_{r}{\frac {z_{r}}{s_{r}}}\,$

gibt. Dies bedeutet zurückübersetzt nach ${}M$, dass es ein Element ${}s\notin {\mathfrak {n}}$ mit

${}sx=y_{1}w_{1}+\cdots +y_{r}w_{r}\,$

für gewisse ${}w_{i}\in M$ gibt. Da ${}s$ nicht zum maximalen Ideal ${}{\mathfrak {n}}$ gehört, gibt es ein $c\in R$ und $g\in {\mathfrak {n}}$ mit ${}g+cs=1$. Wir multiplizieren die obige Gleichung mit ${}c$ und erhalten

${}(1-g)x=csx=c{\left(y_{1}w_{1}+\cdots +y_{r}w_{r}\right)}\,$

bzw.

${}x=c{\left(y_{1}w_{1}+\cdots +y_{r}w_{r}\right)}+gx\,.$

Dabei gehört die rechte Seite offensichtlich zu ${}{\mathfrak {n}}^{n+1}M$, und damit definiert ${}x$ das Nullelement in ${}{\mathfrak {n}}^{n}M/{\mathfrak {n}}^{n+1}M$.

Zur bewiesenen Aussage