Normale Körpererweiterung/Charakterisierung mit Nullstellen/Fakt/Beweis

Beweis

${}(1)\Rightarrow (2)$. Es sei ${}P\in K[X]$ irreduzibel und ${}P(x)=0$. Dann ist ${}P$ nach Fakt das Minimalpolynom zu ${}x$. Nach (1) gibt es ein über ${}L$ zerfallendes Polynom ${}F$ mit ${}F(x)=0$. Da ${}F$ ein Vielfaches von ${}P$ ist, muss auch ${}P$ über ${}L$ zerfallen.
${}(2)\Rightarrow (1)$. Zu ${}x\in L$ gehört das Minimalpolynom ${}P$, das nach Fakt irreduzibel ist und nach Voraussetzung (2) über ${}L$ in Linearfaktoren zerfällt.
${}(2)\Rightarrow (3)$. Die Familie aller Elemente mit ihren Minimalpolynomen besitzt diese Eigenschaft.
${}(3)\Rightarrow (4)$. Seien ${}L\subseteq M$ und ${}\varphi \colon L\rightarrow M$ gegeben. Es sei ${}x_{i}\in L$ ein Element aus der erzeugenden Familie und sei ${}F_{i}\neq 0$ das zugehörige zerfallende Polynom mit ${}F_{i}(x)=0$, das wir als irreduzibel annehmen dürfen. Es ist

${}F_{i}(\varphi (x_{i}))=\varphi (F_{i}(x_{i}))=\varphi (0)=0\,,$

daher ist ${}\varphi (x_{i})\in M$ eine Nullstelle des über ${}L$ zerfallenden Polynoms ${}F_{i}$. Das heißt aber, dass ${}\varphi (x_{i})\in L$ ist. Diese Zugehörigkeit gilt dann für alle ${}x\in L$, da sie für ein Algebraerzeugendensystem gilt.
${}(4)\Rightarrow (2)$. Es sei ${}P\in K[X]$ irreduzibel und sei ${}x\in L$ mit ${}P(x)=0$. Wir können nach Fakt annehmen, dass ${}P$ das Minimalpolynom von ${}x$ ist. Wir setzen ${}x_{1}=x$ und ergänzen dies zu einem endlichen ${}K$-Algebraerzeugendensystem von ${}L$, sagen wir

${}L=K[x_{1},\ldots ,x_{n}]\,.$

Es seien ${}P_{1}=P,P_{2},\ldots ,P_{n}$ die Minimalpolynome von ${}x_{i}$ über ${}K$. Wir betrachten das Produkt ${}F=P_{1}\cdots P_{n}$ und den Zerfällungskörper ${}M$ von ${}F$ über ${}L$, der zugleich der Zerfällungskörper über ${}K$ ist. Es sei ${}y\in M$ eine Nullstelle von ${}P$. Wir müssen ${}y\in L$ zeigen. Es gibt einen ${}K$-Isomorphismus

$\varphi \colon K[x]\cong K[X]/(P)\longrightarrow K[y]$

mit ${}\varphi (x)=y$. Der Körper ${}M$ ist der Zerfällungskörper von ${}F$ über ${}K[x]$ als auch über ${}K[y]$. Daher gibt es nach Fakt ein kommutatives Diagramm

${\begin{matrix}K[x]&{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}&K[y]&\\\downarrow &&\downarrow &\\M&{\stackrel {\tilde {\varphi }}{\longrightarrow }}&M&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

mit einem ${}K$-Isomorphismus ${}{\tilde {\varphi }}$. Nach Voraussetzung ist dabei ${}{\tilde {\varphi }}(L)\subseteq L$, also ist ${}y=\varphi (x)\in L$.

Zur bewiesenen Aussage