Normale endliche Körpererweiterung/Zwischenkörper/Fortsetzungssatz für Homomorphismus/Fakt/Beweis

Beweis

Aufgrund von Fakt wissen wir, dass ${}L$ der Zerfällungskörper eines Polynoms  ${}F\in K[X]$  ist. ${}L$ ist auch der Zerfällungskörper von  ${}F\in M[X]$.  Es sei  ${}M'=\varphi (M)$  das isomorphe Bild von ${}M$ in ${}L$ unter ${}\varphi$. Somit ist ${}L$ auch der Zerfällungskörper von  ${}F\in M'[X]$.  Daher gibt es nach Fakt einen Isomorphismus ${}{\tilde {\varphi }}\colon L\rightarrow L$, der mit den Abbildungen ${}M\rightarrow L$ und ${}M{\stackrel {\varphi }{\rightarrow }}M'\rightarrow L$ verträglich ist.

Zur bewiesenen Aussage