Normaler torischer Monoidring/Graduierung/Zusammenhang/Fakt/Beweis

Beweis

${}(1)\Rightarrow (2)$. Sei ${}R=K[M]$ mit einem kommutativen Monoid ${}M$, das die angegebenen Eigenschaften erfüllt. Dann gibt es nach Fakt  (1) einen reellen Raum ${}\mathbb {R} ^{n}$ und einen spitzen rationalen polyedrischen Kegel ${}C\subset \mathbb {R} ^{n}$ derart, dass ${}M=\mathbb {Z} ^{n}\cap C$ ist (dabei kann man ${}\mathbb {Z} ^{n}$ als das Differenzengitter zu ${}M$ wählen). Ein solcher Kegel ist der Durchschnitt von endlich vielen Halbräumen ${}H_{j}$, ${}j=1,\ldots ,r$. Diese Halbräume kann man mit der Hilfe von linearen Abbildungen

$\pi _{j}\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$

durch

${}H_{j}=\pi _{j}^{-1}(\mathbb {R} _{\geq 0})\,$

realisieren. Wegen der Rationalität kann man die ${}\pi _{j}$ sogar als ganzzahlig, also als Abbildungen von ${}\mathbb {Z} ^{n}$ nach ${}\mathbb {Z}$, ansetzen. Dies führt zu einem Gruppenhomomorphismus

$\pi \colon \mathbb {Z} ^{n}\longrightarrow \mathbb {Z} ^{r},$

der injektiv ist. Wenn nämlich ${}\pi (w)=0$ ist, so gehört ${}w\in \mathbb {Z} ^{n}\subset \mathbb {R} ^{n}$ zu jedem der Halbräume ${}H_{j}$, und das gleiche gilt für ${}-w$. Wegen der Spitzheit muss ${}w=0$ sein. Es sei ${}\Delta =\pi (\mathbb {Z} ^{n})$ das Bild in ${}\mathbb {Z} ^{r}$ und es sei

$\delta \colon \mathbb {Z} ^{r}\longrightarrow \mathbb {Z} ^{r}/\Delta =:D$

der zugehörige Restklassenhomomorphismus. Insgesamt ist

${}{\begin{aligned}M&=\mathbb {Z} ^{n}\cap C\\&=\mathbb {Z} ^{n}\cap \bigcap _{j=1}^{r}H_{j}\\&={\left\{{\left(a_{1},\ldots ,a_{n}\right)}\in \mathbb {Z} ^{n}\mid \pi _{j}{\left(a_{1},\ldots ,a_{n}\right)}\geq 0{\text{ für alle }}j\right\}}\\&\cong {\left\{{\left(b_{1},\ldots ,b_{r}\right)}\in \Delta \subseteq \mathbb {Z} ^{r}\mid b_{j}\geq 0\right\}}\\&={\left\{{\left(b_{1},\ldots ,b_{r}\right)}\in \Delta \mid {\left(b_{1},\ldots ,b_{r}\right)}\in \mathbb {N} ^{r}\right\}}\\&=\mathbb {N} ^{r}\cap \Delta \\&=\mathbb {N} ^{r}\cap \operatorname {kern} \delta .\end{aligned}}$

Das zuletzt angegebene Monoid besteht aber aus allen Monomen in ${}K[X_{1},\ldots ,X_{r}]$, deren ${}\delta$-Grad gleich ${}0$ ist. Also ist

${}K[M]\cong K[\mathbb {N} ^{r}\cap \Delta ]=K[\mathbb {N} ^{r}\cap \operatorname {kern} \delta ]\,$

der Ring der neutralen Stufe von ${}K[X_{1},\ldots ,X_{r}]$ unter der durch ${}\delta$ gegebenen Graduierung.
${}(2)\Rightarrow (1)$. Die neutrale Stufe besteht aus sämtlichen ${}K$-Linearkombinationen zu Monomen, deren Grad unter der Graduierung ${}0$ ist. Diese Monome bilden offenbar ein Monoid, das wir ${}M$ nennen. Es ist also

${}M=\Delta \cap \mathbb {N} ^{r}\,$

mit ${}\Delta =\operatorname {kern} \delta \cong \mathbb {Z} ^{r}$. Der zugehörige Monoidring stimmt mit der neutralen Stufe überein. Wegen ${}M\subseteq \mathbb {N} ^{r}$ ist das Monoid spitz, torsionsfrei und genügt der Kürzungsregel. Die Normalität ist ebenfalls klar. Wegen ${}M=\Delta \cap \mathbb {N} ^{r}=\Delta \cap {\left(\mathbb {R} _{\geq 0}^{r}\right)}$ folgt die endliche Erzeugtheit aus Fakt  (2).

Zur bewiesenen Aussage