Normalteiler/Restklassengruppe/Einführung/Textabschnitt

Satz

Es sei ${}G$ eine Gruppe und ${}H\subseteq G$ ein Normalteiler. Es sei ${}G/H$ die Menge der Nebenklassen (die Quotientenmenge) und

$q\colon G\longrightarrow G/H,\,g\longmapsto [g],$

die kanonische Projektion.

Dann gibt es eine eindeutig bestimmte Gruppenstruktur auf ${}G/H$ derart, dass ${}q$ ein Gruppenhomomorphismus ist.

Beweis

Da die kanonische Projektion zu einem Gruppenhomomorphismus werden soll, muss die Verknüpfung durch

${}[x][y]=[xy]\,$

gegeben sein. Wir müssen also zeigen, dass durch diese Vorschrift eine wohldefinierte Verknüpfung auf ${}G/H$ definiert ist, die unabhängig von der Wahl der Repräsentanten ist. D.h. wir haben für $[x]=[x']$ und $[y]=[y']$ zu zeigen, dass ${}[xy]=[x'y']$ ist. Nach Voraussetzung können wir $x'=xh$ und $hy'={\tilde {h}}y=yh'$ mit ${}h,{\tilde {h}},h'\in H$ schreiben. Damit ist

${}x'y'=(xh)y'=x(hy')=x(yh')=xyh'\,.$

Somit ist ${}[xy]=[x'y']$. Aus der Wohldefiniertheit der Verknüpfung auf ${}G/H$ folgen die Gruppeneigenschaften, die Homomorphieeigenschaft der Projektion und die Eindeutigkeit.

$\Box$

Definition

Es sei ${}G$ eine Gruppe und ${}H\subseteq G$ ein Normalteiler. Die Quotientenmenge

$G/H$

mit der aufgrund von Fakt eindeutig bestimmten Gruppenstruktur heißt Restklassengruppe von ${}G$ modulo ${}H$. Die Elemente ${}[g]\in G/H$ heißen Restklassen. Für eine Restklasse ${}[g]$ heißt jedes Element ${}g'\in G$ mit ${}[g']=[g]$ ein Repräsentant von ${}[g]$.