Normenäquivalenzsatz

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Theorem: Normenäquivalenzsatz[Bearbeiten]

Auf endlichdimensionalen -Vektorräumen mit sind alle Normen äquivalent.

Beweisidee[Bearbeiten]

Man zeigt in dem Beweis, dass eine beliebige Norm auf äquivalent zu einer speziellen Norm ist und nutzt die Eigenschaft aus, dass die Äquivalenz von Normen eine Äquivalenzrelation ist. In dem Beweis der Ungleichungskette zwischen für die beiden Normen geht der Satz von Bolzano-Weierstraß für endlich dimensionale Vektorräume ein, um die Abschätzung zu zeigen, dass ein existiert mit für alle gilt.

Dabei ist die Norm bezüglich einer frei wählbaren Basis auf wie folgt definiert:

wobei der Koordinatenvektor von bezüglich der Basis ist, der für jedes eindeutig bestimmt ist, d.h. es gilt
,

Seiten-Information[Bearbeiten]