Offene Menge/C/Einfach zusammenhängend/Invertierungsfunktion/Logarithmus/Beispiel

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene einfach zusammenhängende Teilmenge mit ${}0\notin U$. Dann ist auf ${}U$ die komplexe Invertierung ${}{\frac {1}{z}}$ definiert und besitzt dort nach Fakt eine Stammfunktion ${}L(z)$, die bis auf eine Konstante ${}c$ eindeutig bestimmt ist und die man als einen Logarithmus auf ${}U$ ansehen kann. Wir betrachten die Bedingung

${}e^{L(z)+c}=e^{L(z)}e^{c}=z\,.$

Für einen beliebigen Punkt ${}z_{0}\in U$ legt diese über

${}e^{c}=z_{0}e^{-L(z_{0})}\,$

ein (nicht eindeutiges) ${}c_{0}$ fest. Es gilt dann

${}{\left(e^{L(z)+c_{0}}\right)}'={\frac {1}{z}}\cdot e^{L(z)+c_{0}}\,$

und

${}{\left(e^{L(z)+c_{0}}\right)}^{\prime \prime }={\frac {1}{z^{2}}}{\left(z{\left(e^{L(z)+c_{0}}\right)}'-e^{L(z)+c_{0}}\right)}={\frac {1}{z^{2}}}{\left({\left(e^{L(z)+c_{0}}\right)}-e^{L(z)+c_{0}}\right)}=0\,.$

Also ist

${}{\left(e^{L(z)+c_{0}}\right)}'={\frac {1}{z}}\cdot e^{L(z)+c_{0}}=d\,$

konstant und damit ist

${}e^{L(z)+c_{0}}=dz\,$

und wegen der durch ${}z_{0}$ festgelegten Bedingung ist

${}d=1\,.$

Der über die Stammfunktionsbedingung festgelegte Logarithmus ist also auch das Linksinverse auf ${}U$ zur Exponentialfunktion.