Parameterabhängiges Integral/Maßraum und metrischer Raum/Stetigkeit/Fakt/Beweis

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen
Beweis

Die Integrierbarkeit der einzelnen Funktionen folgt aus Fakt. Wir müssen die Stetigkeit der Funktion in zeigen. Wir wenden das Folgenkriterium für die Stetigkeit an, sei also eine Folge in , die gegen konvergiert. Wir setzen . Aufgrund der zweiten Voraussetzung konvergiert die Folge für jedes gegen . Daher konvergiert die Funktionenfolge punktweise gegen . Wegen der dritten Bedingung kann man den Satz von der majorisierten Konvergenz anwenden und erhält

Zur bewiesenen Aussage