Beweis
Die Integrierbarkeit der einzelnen Funktionen
folgt aus
Fakt.
Wir müssen die Stetigkeit der Funktion
in
zeigen. Wir wenden
das Folgenkriterium für die Stetigkeit
an, sei also
eine Folge in
, die gegen
konvergiert. Wir setzen
.
Aufgrund der zweiten Voraussetzung
konvergiert
die Folge
für jedes
gegen
. Daher
konvergiert
die Funktionenfolge
punktweise gegen
. Wegen der dritten Bedingung kann man
den Satz von der majorisierten Konvergenz
anwenden und erhält
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