Parameterabhängiges Integral/Maßraum und metrischer Raum/Stetigkeit/Fakt/Beweis

Beweis

Die Integrierbarkeit der einzelnen Funktionen ${}x\mapsto f(t,x)$ folgt aus Fakt. Wir müssen die Stetigkeit der Funktion ${}t\mapsto \varphi (t)=\int _{M}f(t,x)\,d\mu (x)$ in ${}t_{0}$ zeigen. Wir wenden das Folgenkriterium für die Stetigkeit an, sei also ${}{\left(s_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in ${}E$, die gegen ${}t_{0}$ konvergiert. Wir setzen ${}f_{n}(x)=f(s_{n},x)$. Aufgrund der zweiten Voraussetzung konvergiert die Folge ${}{\left(f_{n}(x)\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ für jedes ${}x\in M$ gegen ${}f(t_{0},x)$. Daher konvergiert die Funktionenfolge ${}{\left(f_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ punktweise gegen ${}f(t_{0},-)$. Wegen der dritten Bedingung kann man den Satz von der majorisierten Konvergenz anwenden und erhält

${}\lim _{n\rightarrow \infty }\varphi (s_{n})=\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{M}f_{n}(x)\,d\mu (x)=\int _{M}f(t_{0},x)\,d\mu (x)=\varphi (t_{0})\,.$

Zur bewiesenen Aussage