Permutationsgruppen/Galoisgruppen/Vorbereitungen/Textabschnitt

Zu einer Permutationsgruppe ${}S(M)$ auf einer Menge ${}M$ liefert jede Teilmenge ${}T\subseteq M$ eine Untergruppe ${}S(T)\subseteq S(M)$. Man setzt einfach die Permutation auf ${}T$ durch die Identität auf ${}M\setminus T$ zu einer Permutation auf ganz ${}M$ fort.

Lemma

Es sei ${}M$ eine endliche Menge und ${}T_{1},T_{2}\subseteq M$ seien Teilmengen mit ${}T_{1}\cap T_{2}\neq \emptyset$. Es sei ${}G\subseteq S(M)$ eine Untergruppe der Permutationsgruppe, die sowohl ${}S(T_{1})$ als auch ${}S(T_{2})$ umfasst.

Dann ist ${}S(T_{1}\cup T_{2})\subseteq G$.

Beweis

Jedes Element ${}\sigma \in S(T_{1}\cup T_{2})$ lässt sich nach Fakt als Produkt von Transpositionen auf ${}T_{1}\cup T_{2}$ schreiben. Es muss also lediglich gezeigt werden, dass solche Transpositionen zu ${}G$ gehören. Es sei ${}\sigma \in S(T_{1}\cup T_{2})$ eine Transposition, und zwar vertausche ${}\sigma$ die Elemente ${}a$ und ${}b$, also ${}\sigma =\langle a,b\rangle$. Wenn beide Elemente zu ${}T_{1}$ (oder zu ${}T_{2}$) gehören, sind wir fertig. Es sei also ${}a\in T_{1},a\notin T_{2}$ und ${}b\in T_{2},b\notin T_{1}$. Es sei ferner ${}c\in T_{1}\cap T_{2}$, und ${}c$ sei von ${}a$ und ${}b$ verschieden (sonst gehören beide zu einer der Teilmengen). Dann ist

${}\sigma =\langle a,b\rangle =\langle a,c\rangle \circ \langle b,c\rangle \circ \langle a,c\rangle \,$

und diese drei Transpositionen gehören zu ${}S(T_{1})$ oder zu ${}S(T_{2})$ und damit zu ${}G$.

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Definition

Es sei ${}M$ eine Menge und sei ${}G=S(M)$ die zugehörige Permutationsgruppe. Eine Untergruppe ${}H\subseteq G$ heißt transitiv, wenn es zu je zwei Elementen ${}x,y\in M$ ein ${}\sigma \in H$ mit ${}\sigma (x)=y$ gibt.

Lemma

Es sei ${}p$ eine Primzahl und ${}S_{p}$ die Permutationsgruppe zu ${}{\{1,\ldots ,p\}}$. Es sei ${}H\subseteq S_{p}$ eine transitive Untergruppe, die eine Transposition enthalte.

Dann ist ${}H=S_{p}$.

Beweis

Sei ${}M={\{1,\ldots ,p\}}$. Wir betrachten Teilmengen ${}T\subseteq M$ derart, dass ${}S(T)\subseteq H$ ist, und wollen ${}T=M$ zeigen. Es sei dazu ${}T_{1}$ eine solche Teilmenge mit maximaler Elementanzahl, die wir ${}k$ nennen. Da es mindestens eine Transposition in ${}H$ gibt, ist ${}k\geq 2$. Für jedes ${}\sigma \in H$ ist ${}T_{\sigma }=\sigma (T_{1})$ ebenfalls eine ${}k$-elementige Menge mit ${}S(T_{\sigma })\subseteq H$. Für ${}\tau \in S(T_{\sigma })$ ist nämlich

${}\tau =\sigma (\sigma ^{-1}\tau \sigma )\sigma ^{-1}\,,$

und ${}\sigma ^{-1}\tau \sigma$ ist eine Permutation auf ${}T_{1}$, so dass sie zu ${}H$ gehört und damit auch ${}\tau \in H$ gilt. Für Permutationen ${}\sigma _{1},\sigma _{2}\in H$ ist entweder ${}T_{\sigma _{1}}=T_{\sigma _{2}}$ oder ${}T_{\sigma _{1}}\cap T_{\sigma _{2}}=\emptyset$, da andernfalls nach Fakt ${}S(T_{1}\cup T_{2})\subseteq H$ wäre im Widerspruch zur Maximalität von ${}k$. Es sei nun ${}x\in M$ vorgegeben und ein ${}y\in T_{1}$ fixiert. Aufgrund der Transitivität gibt es ein ${}\sigma \in H$ mit ${}\sigma (y)=x$. Dann ist natürlich ${}x\in T_{\sigma }$. Das bedeutet, dass die Mengen ${}T_{\sigma }$, ${}\sigma \in H$, die Gesamtmenge ${}M$ überdecken. Wegen der Gleichmächtigkeit dieser Mengen ist ${}p$ ein Vielfaches von ${}k$ und somit ist ${}p=k$, also ${}M=T_{1}$.

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