Permutationsmatrix/3-Zyklus/Invarianter Unterraum/Minimalpolynom/Beispiel

Wir betrachten die Permutationsmatrix

${\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}}.$

Es ist ${}K{\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}$ der Eigenraum zum Eigenwert ${}1$, ferner ist

${}U=\langle {\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}}\rangle \,$

ein invarianter Untervektorraum (der sich über ${}{\mathbb {C} }$ gemäß Fakt in weitere Eigenräume zerlegen lässt). Bezüglich der angegebenen Basis besitzt die Einschränkung der linearen Abbildung auf ${}U$ die beschreibende Matrix

${\begin{pmatrix}0&-1\\1&-1\end{pmatrix}},$

somit ist das charakteristische Polynom davon gleich

${}X(X+1)+1=X^{2}+X+1\,.$

Dies ist zugleich das Minimalpolynom der Einschränkung. Das Minimalpolynom zur Permutationsmatrix ist ${}X^{3}-1$, und in der Tat ist

${}X^{3}-1=(X-1)(X^{2}+X+1)\,$

in Übereinstimmung mit Fakt.