Polarkoordinaten für komplexe Zahlen/Über Exponentialfunktion/Textabschnitt

Satz

Zu jeder komplexen Zahl ${}z\in {\mathbb {C} }$ , ${}z\neq 0$,

gibt es eine eindeutige Darstellung

${}z=r\cdot \exp({\mathrm {i} }\varphi )=re^{{\mathrm {i} }\varphi }=r(\cos \varphi +{\mathrm {i} }\sin \varphi )\,$

mit ${}r\in \mathbb {R} _{+}$ und mit ${}\varphi \in [0,2\pi [$.

Beweis

Wegen Fakt ist

${}\vert {z}\vert =\vert {r}\vert \vert {e^{{\mathrm {i} }\varphi }}\vert =\vert {r}\vert =r\,,$

d.h. ${}r$ ist als Betrag der komplexen Zahl ${}z$ festgelegt. Wir können durch den Betrag teilen und können dann davon ausgehen, dass eine komplexe Zahl

${}z=a+b{\mathrm {i} }\,$

mit ${}a,b\in \mathbb {R}$ und mit ${}a^{2}+b^{2}=1$ vorliegt. Es ist dann zu zeigen, dass es eine eindeutige Darstellung

${}z=a+b{\mathrm {i} }=\cos \varphi +{\mathrm {i} }\sin \varphi \,$

gibt. Bei ${}a=1$ (bzw. ${}{-1}$) ist ${}b=0$ und ${}\varphi =0$ (bzw. ${}\varphi =\pi$) ist die einzige Lösung. Wir zeigen, dass es für ein gegebenes ${}a\in {]{-1},1[}$ stets genau zwei Möglichkeiten für ${}\varphi$ mit ${}a=\cos \varphi$ gibt, und eine davon wird durch das Vorzeichen von ${}b$ ausgeschlossen. Bei ${}b\geq 0$ gibt es aufgrund von Fakt ein eindeutiges ${}\varphi \in [0,\pi ]$ mit ${}a=\cos \varphi$. Für dieses gilt ${}b=\sin \varphi$ wegen ${}a^{2}+b^{2}=1$ und ${}b\neq 0$. Bei ${}b<0$ gibt es wiederum ein eindeutiges ${}\theta \in [0,\pi ]$ mit ${}a=\cos \theta$. Wegen ${}\sin \theta \geq 0$ ist dies aber keine Lösung für beide Gleichungen. Stattdessen erfüllt ${}\varphi :=2\pi -\theta$ beide Gleichungen.

$\Box$

Die in diesem Satz beschriebene Darstellung für eine komplexe Zahl heißen ihre Polarkoordinaten. Zu ${}z=x+{\mathrm {i} }y$ heißt ${}r$ der Betrag und ${}\varphi$ das Argument (oder der Winkel) von ${}z$.