Polarkoordinaten für komplexe Zahlen/Über Exponentialfunktion/Textabschnitt

Satz

Zu jeder komplexen Zahl ${}z\in {\mathbb {C} }$, ${}z\neq 0$,

gibt es eine eindeutige Darstellung

${}z=r\cdot \exp({\mathrm {i} }\varphi )=re^{{\mathrm {i} }\varphi }=r(\cos \varphi +{\mathrm {i} }\sin \varphi )\,$

mit  ${}r\in \mathbb {R} _{+}$  und mit  ${}\varphi \in [0,2\pi [$. 

Beweis

Wegen Fakt ist

${}\vert {z}\vert =\vert {r}\vert \vert {e^{{\mathrm {i} }\varphi }}\vert =\vert {r}\vert =r\,,$

d.h. ${}r$ ist als Betrag der komplexen Zahl ${}z$ festgelegt. Wir können durch den Betrag teilen und können dann davon ausgehen, dass eine komplexe Zahl

${}z=a+b{\mathrm {i} }\,$

mit  ${}a,b\in \mathbb {R}$  und mit  ${}a^{2}+b^{2}=1$  vorliegt. Es ist dann zu zeigen, dass es eine eindeutige Darstellung

${}z=a+b{\mathrm {i} }=\cos \varphi +{\mathrm {i} }\sin \varphi \,$

gibt. Bei  ${}a=1$  (bzw. ${}{-1}$) ist  ${}b=0$  und  ${}\varphi =0$  (bzw. ${}\varphi =\pi$) ist die einzige Lösung. Wir zeigen, dass es für ein gegebenes  ${}a\in {]{-1},1[}$  stets genau zwei Möglichkeiten für ${}\varphi$ mit  ${}a=\cos \varphi$  gibt, und eine davon wird durch das Vorzeichen von ${}b$ ausgeschlossen. Bei  ${}b\geq 0$  gibt es aufgrund von Fakt ein eindeutiges  ${}\varphi \in [0,\pi ]$  mit  ${}a=\cos \varphi$.  Für dieses gilt  ${}b=\sin \varphi$  wegen  ${}a^{2}+b^{2}=1$  und  ${}b\neq 0$.  Bei  ${}b<0$  gibt es wiederum ein eindeutiges  ${}\theta \in [0,\pi ]$  mit  ${}a=\cos \theta$.  Wegen  ${}\sin \theta \geq 0$  ist dies aber keine Lösung für beide Gleichungen. Stattdessen erfüllt  ${}\varphi :=2\pi -\theta$  beide Gleichungen.

$\Box$

Die in diesem Satz beschriebene Darstellung für eine komplexe Zahl heißen ihre Polarkoordinaten. Zu  ${}z=x+{\mathrm {i} }y$  heißt ${}r$ der Betrag und ${}\varphi$ das Argument (oder der Winkel) von ${}z$.