Polarkoordinaten für komplexe Zahlen/Über Exponentialfunktion/Textabschnitt

Satz

Zu jeder komplexen Zahl $z\in ℂ$, $z\ne 0$,

gibt es eine eindeutige Darstellung

$z=r\cdot \exp (\mathrm{i}\phi )=r{e}^{\mathrm{i}\phi }=r(\cos \phi +\mathrm{i}\sin \phi )$

mit  $r\in {ℝ}_{+}$  und mit  $\phi \in [0,2\pi [$. 

Beweis

Wegen Fakt ist

$|z|=|r||e^{\mathrm{i}\phi }|=|r|=r,$

d.h. $r$ ist als Betrag der komplexen Zahl $z$ festgelegt. Wir können durch den Betrag teilen und können dann davon ausgehen, dass eine komplexe Zahl

$z=a+b\mathrm{i}$

mit  $a,b\in ℝ$  und mit  $a^2+b^2=1$  vorliegt. Es ist dann zu zeigen, dass es eine eindeutige Darstellung

$z=a+b\mathrm{i}=\cos \phi +\mathrm{i}\sin \phi$

gibt. Bei  $a=1$  (bzw. $-1$) ist  $b=0$  und  $\phi =0$  (bzw. $\phi =\pi$) ist die einzige Lösung. Wir zeigen, dass es für ein gegebenes  $a\in ]-1,1[$  stets genau zwei Möglichkeiten für $\phi$ mit  $a=\cos \phi$  gibt, und eine davon wird durch das Vorzeichen von $b$ ausgeschlossen. Bei  $b\ge 0$  gibt es aufgrund von Fakt ein eindeutiges  $\phi \in [0,\pi ]$  mit  $a=\cos \phi$.  Für dieses gilt  $b=\sin \phi$  wegen  $a^2+b^2=1$  und  $b\ne 0$.  Bei  $b<0$  gibt es wiederum ein eindeutiges  $\theta \in [0,\pi ]$  mit  $a=\cos \theta$.  Wegen  $\sin \theta \ge 0$  ist dies aber keine Lösung für beide Gleichungen. Stattdessen erfüllt  $\phi :=2\pi -\theta$  beide Gleichungen.

$◻$

Die in diesem Satz beschriebene Darstellung für eine komplexe Zahl heißt ihre Polarkoordinatendarstellung. Zu  $z=x+\mathrm{i}y$  heißt $r$ der Betrag und $\phi$ das Argument (oder der Winkel) von $z$.