Polarkoordinaten für komplexe Zahlen/Über Exponentialfunktion/Textabschnitt

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Satz  

Zu jeder komplexen Zahl  , ,

gibt es eine eindeutige Darstellung

mit und mit .

Beweis  

Wegen Fakt ist

d.h. ist als Betrag der komplexen Zahl festgelegt. Wir können durch den Betrag teilen und können dann davon ausgehen, dass eine komplexe Zahl mit und mit vorliegt. Es ist dann zu zeigen, dass es eine eindeutige Darstellung

gibt. Bei (bzw. ) ist und (bzw. ) ist die einzige Lösung. Wir zeigen, dass es für ein gegebenes stets genau zwei Möglichkeiten für mit gibt, und eine davon wird durch das Vorzeichen von ausgeschlossen. Bei gibt es aufgrund von Fakt ein eindeutiges mit . Für dieses gilt wegen und . Bei gibt es wiederum ein eindeutiges mit . Wegen ist dies aber keine Lösung für beide Gleichungen. Stattdessen erfüllt beide Gleichungen.


Die in diesem Satz beschriebene Darstellung für eine komplexe Zahl heißen ihre Polarkoordinaten. Zu heißt der Betrag und das Argument (oder der Winkel) von .