Polynom ohne mehrfache Nullstelle/C/Quadratwurzel/Endliche Abbildung/Verzweigung/Fakt/Beweis

Beweis

Bereits in Fakt wurde gezeigt, dass eine riemannsche Fläche vorliegt. Eine kompakte Teilmenge ${}T\subseteq {\mathbb {C} }$ ist nach dem Satz von Heine-Borel beschränkt und abgeschlossen. Das Urbild ${}p^{-1}(T)$ ist abgeschlossen in ${}V$ wegen der Stetigkeit und auch abgeschossen in ${}{\mathbb {C} }^{2}$, da ${}V$ abgeschossen in ${}{\mathbb {C} }^{2}$ ist. Aufgrund der Beschränktheit ist auch ${}{\left\{f(z)\mid z\in T\right\}}$ beschränkt und damit ist auch ${}{\left\{w\in {\mathbb {C} }\mid w^{2}=f(z),\,z\in T\right\}}$ beschränkt. Also ist ${}p^{-1}(T)$ kompakt und ${}p$ ist eigentlich, also endlich. Die Aussage über die Verzweigung folgt direkt durch eine lokale Betrachtung oder aus Fakt.

Zur bewiesenen Aussage