Polynomring/Körper/1/Gemeinsamer Teiler/Textabschnitt

Definition

Es seien  $P_1,\dots ,P_n\in K[X]$  Polynome über einem Körper $K$. Man sagt, dass ein Polynom  $T\in K[X]$  ein gemeinsamer Teiler der gegebenen Polynome ist, wenn $T$ jedes $P_i$ teilt.

Definition

Es seien  $P_1,\dots ,P_n\in K[X]$  Polynome über einem Körper $K$. Man sagt, dass ein Polynom  $G\in K[X]$  ein größter gemeinsamer Teiler der gegebenen Polynome ist, wenn $G$ ein gemeinsamer Teiler der $P_i$ ist und wenn $G$ unter allen gemeinsamen Teilern der $P_i$ maximalen Grad besitzt.

Ein größter gemeinsamer Teiler ist nicht eindeutig bestimmt, da mit $G$ auch $cG$ für eine Konstante  $c\ne 0$  ein größter gemeinsamer Teiler ist. Wenn man sich allerdings auf normierte Polynome beschränkt, so ist der größter gemeinsame Teiler eindeutig bestimmt.

Definition

Polynome  $P_1,\dots ,P_n\in K[X]$  über einem Körper $K$ heißen teilerfremd, wenn sie außer den Konstanten  $c\ne 0$  keine gemeinsamen Teiler besitzen.