Polynomring/Mehrere Variablen/Homogene Komponenten/Textabschnitt

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Definition  

Es sei ein kommutativer Ring und der Polynomring über in Variablen. Dann heißt zu einem Monom

die Zahl

der Grad von . Zu einem Polynom heißt das Maximum

der Grad von .


Definition  

Es sei ein kommutativer Ring und der Polynomring über in Variablen. Dann heißt zu einem Polynom mit die Zerlegung

mit

die homogene Zerlegung von . Die nennt man die homogenen Komponenten von zum Grad . Das Polynom selbst heißt homogen, wenn in der homogenen Zerlegung von nur ein vorkommt.

Die Nullstellenmenge eines homogenen Polynoms ist ein (Geraden-)Kegel durch den Nullpunkt. D.h. mit einem Punkt gehört auch die ganze Gerade durch und zu .



Beispiel  

Das Polynom

hat den Grad und die homogenen Komponenten sind

Wenn man es als Polynom in auffasst und sich nur dafür interessiert, in welcher Potenz vorkommt, so spricht man vom -Grad. Der -Grad von ist . Es gibt natürlich auch eine homogene Zerlegung entlang der -Graduierung; dabei ist beispielsweise die Komponente zum -Grad gleich und zum -Grad gleich .