Polynomring/Veronesering/Direkter Summand, kein Ringschnitt/Beispiel

Es sei ${}K$ ein Körper,  ${}R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$  der Polynomring und ${}R^{(s)}$ der Veronese-Ring zu  ${}s\in \mathbb {N} _{+}$.  Nach Fakt ist  ${}R^{(s)}\subseteq R$  ein direkter Summand. Bei  ${}s\geq 2$  (und ${}n\geq 1$) gibt es keinen Ringhomomorphismus

$\psi \colon R\longrightarrow R^{(s)}$

mit  ${}\psi \circ \iota =\operatorname {Id} _{R^{(s)}}$.  Dies liegt daran, dass

${}\psi (X_{1})=a_{0}+a_{s}+a_{2s}+\cdots +a_{rs}=X_{1}\,$

mit  ${}a_{is}\in R_{is}$  keine Lösung besitzt.