Polynomring/Veronesering/Direkter Summand, kein Ringschnitt/Beispiel

Es sei $K$ ein Körper,  $R=K[X_1,\dots ,X_n]$  der Polynomring und $R^{(s)}$ der Veronese-Ring zu  $s\in {\mathbb{N}}_{+}$.  Nach Fakt ist  $R^{(s)}\subseteq R$  ein direkter Summand. Bei  $s\ge 2$  (und $n\ge 1$) gibt es keinen Ringhomomorphismus

$\psi :R⟶R^{(s)}$

mit  $\psi \circ \iota ={\mathrm{Id}}_{R^{(s)}}$.  Dies liegt daran, dass

$\psi (X_1)=a_0+a_s+a_{2s}+\cdots +a_{rs}=X_1$

mit  $a_{is}\in R_{is}$  keine Lösung besitzt.