Polynomring/n Polynome/Ableitungen/Differentialmodul/Fakt/Beweis

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Beweis

Wir setzen und in . Die Abbildung

entspricht über die Identifizierung (siehe Fakt)

der Ableitung, die wiederum in den Komponenten wegen Fakt den partiellen Ableitungen von entsprechen. Somit ist die von

induzierte Abbildung

durch gegeben.

Wenn die Determinante der Matrix ungleich ist, so ist diese Abbildung surjektiv. Wegen dem Lemma von Nakayama ist dann bereits surjektiv. Wenn die Determinante gleich ist, so ist die Gesamtabbildung nicht surjektiv und dann ist auch die vordere Abbildung nicht surjektiv.

Zur bewiesenen Aussage