Polynomring/n Polynome/Ableitungen/Differentialmodul/Fakt/Beweis

Beweis

Wir setzen ${}R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]_{\left(X_{1},\ldots ,X_{n}\right)}$ und ${}{\mathfrak {m}}={\left(X_{1},\ldots ,X_{n}\right)}$ in ${}R$. Die Abbildung

$R\longrightarrow {\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2},\,g\longmapsto (g-g(0))$

entspricht über die Identifizierung (siehe Fakt)

${}{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}=\Omega _{R{|}K}\otimes _{R}R/{\mathfrak {m}}\cong K^{n}\,$

der Ableitung, die wiederum in den Komponenten wegen Fakt den partiellen Ableitungen von ${}g$ entsprechen. Somit ist die von

$\varphi \colon R^{n}\longrightarrow {\mathfrak {m}},\,e_{j}\longmapsto g_{j},$

induzierte Abbildung

$R^{n}\longrightarrow {\mathfrak {m}}\longrightarrow {\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}\cong K^{n}$

durch ${}e_{j}\mapsto \left({\frac {\partial g_{j}}{\partial X_{1}}}(0),\,\ldots ,\,{\frac {\partial g_{j}}{\partial X_{1}}}(0)\right)$ gegeben.

Wenn die Determinante der Matrix ungleich ${}0$ ist, so ist diese Abbildung surjektiv. Wegen dem Lemma von Nakayama ist dann bereits ${}\varphi$ surjektiv. Wenn die Determinante gleich ${}0$ ist, so ist die Gesamtabbildung nicht surjektiv und dann ist auch die vordere Abbildung nicht surjektiv.

Zur bewiesenen Aussage