Polynomring (Körper)/Nullstellen/Anzahl/Fakt mit Beweisklappe

Satz (Nullstellenanzahl)

Es sei $K$ ein Körper und sei $K [X]$ der Polynomring über $K$ . Es sei $P \in K [X]$ ein Polynom ( $\neq 0$ ) vom Grad $d$ .

Dann besitzt $P$ maximal $d$ Nullstellen.

Beweis

Wir beweisen die Aussage durch Induktion über $d$ . Für $d = 0, 1$ ist die Aussage offensichtlich richtig. Es sei also $d \geq 2$ und die Aussage sei für kleinere Grade bereits bewiesen. Es sei $a$ eine Nullstelle von $P$ (falls $P$ keine Nullstelle besitzt, sind wir direkt fertig). Dann ist $P = Q (X - a)$ nach Fakt, und $Q$ hat den Grad $d - 1$ , sodass wir auf $Q$ die Induktionsvoraussetzung anwenden können. Das Polynom $Q$ hat also maximal $d - 1$ Nullstellen. Für $b \in K$ gilt $P (b) = Q (b) (b - a)$ . Dies kann nach Fakt nur dann $0$ sein, wenn einer der Faktoren $0$ ist, sodass eine Nullstelle von $P$ gleich $a$ ist oder aber eine Nullstelle von $Q$ ist. Es gibt also maximal $d$ Nullstellen von $P$ .

◻