Positive Charakteristik/Polynomring/Z mod p-Graduierung/Triviale Operation/Beispiel

Es sei ${}K$ ein Körper der positiven Charakteristik ${}p$ und der Polynomring ${}K[X]$ sei durch ${}D=\mathbb {Z} /(p)$ über ${}\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} /(p)$ graduiert. Die neutrale Stufe ist offenbar ${}K[X^{p}]$. Die Charaktergruppe zu ${}\mathbb {Z} /(p)$ ist aber trivial, da es wegen

${}(x-1)^{p}=x^{p}-1\,$

neben der ${}1$ keine weiteren ${}p$-ten Einheitswurzeln in ${}K$ gibt. Damit ist natürlich auch die induzierte Operation trivial und der Invariantenring ist ${}K[X]$.