Positive Charakteristik/Polynomring/Z mod p-Graduierung/Triviale Operation/Beispiel

Es sei $K$ ein Körper der positiven Charakteristik $p$ und der Polynomring $K[X]$ sei durch  $D=\mathbb{Z}/(p)$  über $\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}/(p)$ graduiert. Die neutrale Stufe ist offenbar $K[X^p]$. Die Charaktergruppe zu $\mathbb{Z}/(p)$ ist aber trivial, da es wegen

$(x-1{)}^p=x^p-1$

neben der $1$ keine weiteren $p$-ten Einheitswurzeln in $K$ gibt. Damit ist natürlich auch die induzierte Operation trivial und der Invariantenring ist $K[X]$.