Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Vorlesung 7

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Wir haben schon vereinzelt die Standardgraduierung auf dem Polynomring verwendet. In dieser Vorlesung führen wir graduierte Ringe allgemein ein und erläutern den engen Zusammenhang zwischen Graduierungen und Gruppenoperationen von kommutativen Gruppen.



Graduierungen

Definition  

Es sei ein kommutativer Ring und eine kommutative Gruppe. Eine -Algebra heißt -graduiert, wenn es eine direkte Summenzerlegung

mit -Untermoduln gibt derart, dass ist und für die Multiplikation auf die Beziehung
gilt.

Eine einfache Überlegung zeigt, dass ist und dass somit eine -Unteralgebra von ist. Häufig spricht man einfach von einem -graduierten Ring . Statt kann man stets oder als Grundring wählen.

Bemerkung  

In einer -graduierten -Algebra besitzt jedes Element eine eindeutige Darstellung

wobei nur endlich viele der ungleich sein können. Die heißen dabei die homogenen Komponenten von , die heißen ebenfalls die homogenen Komponenten von (oder -ten Stufen) und Elemente heißen homogen vom Grad . Die Gruppe heißt die graduierende Gruppe. Der Fall ist erlaubt.

Durch eine Graduierung wird die Multiplikation auf einer Algebra übersichtlicher strukturiert. Man muss lediglich für homogene Elemente und die Produkte kennen, dadurch ist schon die gesamte Multiplikation distributiv festgelegt.



Beispiel  

Es sei ein kommutativer Ring und der Polynomring in Variablen über . Dieser ist in naheliegender Weise -graduiert. Man definiert für ein Monom den Grad durch und setzt als den -Modul aller Polynome an, die -Linearkombinationen von Monomen von Grad sind. Bei der Multiplikation von zwei Monomen verhält sich der Grad offensichtlich additiv, so dass dadurch eine graduierte -Algebra entsteht. Es ist und für negativen Grad . Diese Graduierung heißt auch die Standardgraduierung auf dem Polynomring.



Beispiel  

Es sei ein kommutativer Ring und der Polynomring in Variablen über . Die additive Gruppe des Polynomrings ist einfach

Daher ist der Polynomring -graduiert, wobei die -te Stufe einfach aus allen -Vielfachen des Monoms

besteht. Die Stufen zu sind also isomorph zu , die anderen Stufen, bei denen mindestens eine Komponente negativ ist, sind . Diese Graduierung nennt man die feine Graduierung des Polynomringes.

Durch einen (surjektiven) Gruppenhomomorphismus

kann man aus der feinen Graduierung des Polynomrings wiederum „gröbere Graduierungen“ gewinnen. In Beispiel 7.13

wird diese Konstruktion eingesetzt.


Beispiel  

Es sei ein Körper, und . Dann besitzt die Restklassenalgebra eine Graduierung mit der graduierenden Gruppe , und zwar setzt man (wobei die Restklasse von sei)

Jedes Element kann man durch ein Polynom repräsentieren, das maximal den Grad besitzt. Daher besitzt jedes eine Summendarstellung mit Summanden aus den . Diese Summenzerlegung ist direkt, da man mit der einzigen gegebenen Gleichung nicht weiter reduzieren kann. Die Multiplikationseigenschaft folgt aus , und dies ist gleich , falls ist, und andernfalls gleich . So oder so ist es ein Element aus .




Lemma  

Es sei eine kommutative Gruppe und ein kommutativer -graduierter Ring.

Dann ist ein direkter Summand.

Beweis  

Die Stufen sind -Moduln, daher ist

eine direkte Summenzerlegung.


Wir nennen die Stufe auch die neutrale Stufe des graduierten Ringes.



Homogene Ideale

Definition  

Es sei ein kommutativer Ring, eine kommutative Gruppe und

eine

-graduierte -Algebra. Ein Ideal heißt homogen, wenn zu auch die homogenen Komponenten sind.

Für ein homogenes Ideal liegt die Summenzerlegung

mit

vor.



Lemma

Es sei ein kommutativer Ring, eine kommutative Gruppe und eine -graduierte -Algebra. Es sei ein homogenes Ideal.

Dann ist auch der Restklassenring -graduiert.

Dabei ist

Beweis

Siehe Aufgabe 7.9.



Graduierungen und Gruppenoperationen

Wir kommen nun zu der Beziehung zwischen -Graduierungen und Operationen der Charaktergruppe .



Lemma  

Es sei ein Körper, eine kommutative Gruppe und eine -graduierte kommutative -Algebra.

Dann gibt es einen Gruppenhomomorphismus

der Charaktergruppe von in die (homogene) -Automorphismengruppe von .

Wenn alle sind, so ist diese Zuordnung injektiv.

Beweis  

Zu jedem Charakter

ist die durch

definierte Abbildung mit der Addition verträglich. Die Verträglichkeit mit der Multiplikation folgt für homogene Elemente und aus

woraus sich aufgrund des Distributivgesetzes auch der allgemeine Fall ergibt. Für (und insbesondere für ) ist ferner , so dass ein -Algebrahomomorphismus vorliegt.
Der triviale (konstante) Charakter geht bei dieser Zuordnung auf die Identität. Es seien nun zwei Charaktere gegeben. Für ein homogenes Element ist

so dass die Gesamtzuordnung mit den Verknüpfungen verträglich ist. Daher gilt auch

so dass jedes ein -Algebraautomorphismus und die Gesamtzuordnung ein Gruppenhomomorphismus ist.
Die Injektivität ergibt sich unter Verwendung von Lemma 4.9 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)) folgendermaßen. Bei gibt es ein mit . Nach Voraussetzung ist

sei also , . Damit ist , da eine Einheit ist. Also ist .


Aufgrund dieses Lemmas operiert also die Charaktergruppe zur graduierenden Gruppe auf als Gruppe von (homogenen) -Algebraautomorphismen. Der zugehörige Invariantenring zu dieser Operation fällt unter schwachen Bedingungen mit dem Ring der neutralen Stufe der Graduierung zusammen.



Satz  

Es sei ein Körper, eine kommutative Gruppe und eine -graduierte kommutative -Algebra. Zu jedem , , gebe es einen Charakter mit

Dann ist der Invariantenring unter der natürlichen Operation der Charaktergruppe auf .

Beweis  

Für ein Element und einen beliebigen Charakter ist offenbar

so dass ist. Da die Operation der Charaktergruppe homogen ist, sind die homogenen Komponenten eines invarianten Elements ebenfalls invariant. Sei und . Aufgrund der Voraussetzung gibt es einen Charakter

mit . Dann ist

also sind solche Elemente nicht invariant.



Korollar

Es sei ein Körper, eine endliche kommutative Gruppe und eine -graduierte kommutative -Algebra. Der Körper enthalte hinreichend viele Einheitswurzeln, so dass die Charaktergruppe von isomorph zu sei.

Dann ist der Invariantenring unter der natürlichen Operation der Charaktergruppe auf .

Beweis

Dies folgt direkt aus Satz 7.10.



Beispiel  

Es sei ein Körper der positiven Charakteristik und der Polynomring sei durch über graduiert. Die neutrale Stufe ist offenbar . Die Charaktergruppe zu ist aber trivial, da es wegen

neben der keine weiteren -ten Einheitswurzeln in gibt. Damit ist natürlich auch die induzierte Operation trivial und der Invariantenring ist .


Wir besprechen abschließend zwei wichtige Beispiele für Invariantenringe, die die sogenannten - bzw. die -Singularitäten repräsentieren.


Beispiel  

Es sei ein Körper, der eine primitive -te Einheitswurzel enthalte. Wir betrachten die Untergruppe

und die zugehörige Operation auf bzw. auf . Es handelt sich um eine zyklische Gruppe der Ordnung , die von

erzeugt wird. Die Operation von auf ist durch und gegeben. Offenbar sind

invariante Polynome unter dieser Gruppenoperation, die in der Beziehung

stehen. Dass diese drei Invarianten den Invariantenring erzeugen, sieht man am besten, wenn man die Situation graduiert realisiert. Dazu sei der Polynomring -graduiert, wobei den Grad und den Grad besitze. Wir betrachten den Gruppenhomomorphismus

und die zugehörige -Graduierung des Polynomringes. Wir identifizieren die Charaktergruppe mit der obigen Gruppe , indem wir

mit identifizieren. Bei dieser Identifizierung entspricht die obige explizite Operation von auf der natürlichen Operation der Charaktergruppe

gemäß Lemma 7.9. Nach Korollar 7.11 ist der Invariantenring unter der -Operation gleich der neutralen Stufe unter der -Graduierung. Der Kern von wird durch erzeugt. Die zugehörigen Stufen bilden somit den Invariantenring. Der Invariantenring ist also .


Im vorstehenden Beispiel haben wir einen surjektiven Ringhomomorphismus

Dies ist in der Tat ein Isomorphismus, d.h. ist die einzige relevante Gleichung. Dies liegt daran, dass das Polynom irreduzibel ist und dadurch der Restklassenring ein Integritätsbereich ist. Die Übereinstimmung mit dem Invariantenring folgt nun aus der Dimensionstheorie, die wir aber nicht systematisch entwickeln werden. Jedenfalls ist dieser Restklassenring und der gesuchte Invariantenring zweidimensional, so dass sie übereinstimmen müssen.



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Arbeitsblatt zur Vorlesung (PDF)