Potenzfunktion/Positive Basis/Reeller Exponent/Ableitung/Fakt/Beweis

Beweis

Nach Aufgabe ist

${}x^{\alpha }=\exp \left(\alpha \,\ln x\right)\,.$

Die Ableitung nach ${}x$ ist aufgrund von Fakt, Fakt und der Kettenregel gleich

${}(x^{\alpha })'=(\exp \left(\alpha \,\ln x\right))'={\frac {\alpha }{x}}\cdot \exp \left(\alpha \,\ln x\right)={\frac {\alpha }{x}}x^{\alpha }=\alpha x^{\alpha -1}\,.$

Zur bewiesenen Aussage